2015-05-20
264
Вычисление выборочного коэффициента корреляции осуществляется на основе выборочных данных, т.е. r является статистикой или оценкой некоторого параметра. Таким параметром, очевидно, будет генеральный коэффициент корреляции (ρ), вычисляемый на основе всех значений генеральной совокупности.
Выборочный коэффициент корреляции r, как правило, вычисляется по данным малых выборок (n < 30). Ввиду случайных причин значение r может существенно отличаться от генерального коэффициента корреляции ρ. Например, может возникнуть ситуация, когда линейной корреляции нет (т.е. истинное значение ρ=0), а по выборочным данным значение r существенно отличается от нуля.
Так на рис. 9 представлено корреляционное поле генеральной совокупности, где разброс точек явно отражает отсутствие линейной связи. Однако в выборку попали точки, которые расположены практически на одной прямой, имеющей положительный наклон. Поэтому следует ожидать, что выборочный коэффициент корреляции будет близок к единице.
|
|
|
В этой связи для выборочного коэффициента корреляции r необходима оценка существенности, или статистической значимости. Она заключается в том, что проверяются гипотезы:
(линейная связь между X и Y отсутствует);
 |
(линейная связь между X и Y существует).
,
Рис. 9. Геометрическое представление выборки искажающей истинное значение
генерального коэффициента корреляции: ρ=0, r =1
При n < 30 проверку нулевой гипотезы 
можно производить с помощью t -критерия:
,
где r – наблюдаемое (выборочное) значение коэффициента корреляции;
ρ=0 – гипотетическое значение генерального коэффициента корреляции; 
- оценка стандартной ошибки коэффициента корреляции, т.е. стандартного отклонения распределения выборочных коэффициентов корреляции.
Величина вычисляется по формуле
Отсюда величина t -критерия примет вид
где r – выборочный коэффициент корреляции; n – объем выборки.
Известно, что t -критерий имеет распределение, близкое к t -распределению Стьюдента, соответствующему n -2 степеням свободы. При заданном уровне значимости α критическим значением будет величина 
.
Если 
, то коэффициент выборочной корреляции будет существенным, или значимым
Рассмотрим пример. Пусть, исследуя тесноту линейной связи между X (затраты на рекламу) и Y (объем продаж), мы рассчитали коэффициент корреляции: r =0,843, при объеме выборки n =10. Вычислим t -критерий:
Пусть α=0,05. Из табл. прил. 4 найдем критический предел 
=2,306. Ввиду того, что 4,44>2,306, нулевая гипотеза 
о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю отвергается с уровнем значимости 5 %.
