Однофакторный дисперсионный анализ
Технологических процессов
Самара, 2008
Составители: Б.Н. Березков, А.В. Архипов
УДК
Однофакторный дисперсионный анализ технологических процессов: Метод. указания к лаб. раб./ Сост. Б.Н.Березков, А.В. Архипов. - Самара: Изд-во Самар.гос.аэрокосм. ун-та,2008.
Цель работы: знакомство с методами дисперсионного анализа технологических процессов.
Теоретические основы однофакторного дисперсионного анализа.
Усложнение РЭС и технологических процессов их производства вызывает резкое повышение стоимости и длительности экспериментальных исследований, усложнение экспериментальных установок и увеличение сроков обработки результатов. Поэтому существует необходимость в совершенствовании методологии исследования, в разработке способов обработки экспериментальных данных.
Одним из первых шагов в этом направлении был однофакторный дисперсионный анализ, разработанный и введенный в практику выдающимся английским математиком-статистиком Р.А.Фишером.
Таблица 1. Результаты наблюдений
Номер уровня фактора А | Номер испытания 1 2… j…n | Суммы | Число испытаний | |
x 11 x 12… x 1j… x 1 m | S1 | n | ||
x 21 x 22… x 2 j… x 2 m | S2 | n | ||
… | … … … … | … | … | |
i | xi 1 xi 2… xij…xim | Si | n | |
… | … … … … | … | … | … |
m | xm 1 xm 2… xmj…xmm | Sm | n | |
S… | N=m·n |
Примечание: точка вместо индекса у сумм указывает на суммирование по данному индексу.
Сущность однофакторного дисперсионного анализа заключается в разложении суммарной (общей) дисперсии на две составляющие: дисперсию, обусловленную действием изучаемого фактора А, и дисперсию с ошибкой эксперимента. При этом производится сравнение оценки дисперсии, вызванной изучаемым фактором А и оценки дисперсии ошибки эксперимента.
Для выполнения дисперсионного анализа результаты наблюдений и расчетов удобно сводить в таблицу 1.
Несмещенные оценки для дисперсии получим, разделив суммы квадратов на соответствующее число степеней свободы:
; (1)
; (2)
. (3)
К формулам (1), (2) и (3) относятся числа степеней свободы N -1, m -1, N-m соответственно, где N=m·n.
При этом сами суммы квадратов после преобразований и упрощений определяются выражениями:
; (4)
; (5)
. (6)
Расхождение между и оценивается обычно с помощью F – критерия Фишера:
. (7)
сравнивается с табличным значением (Приложение А). Если , определенного для выбранной доверительной вероятности (надежности вывода) Р и числа степеней свободы , , то расхождение дисперсий считают неслучайным (значимым) и изученный фактор А оказывает влияние на исследуемый выходной параметр. В противном случае для такого утверждения нет достаточных оснований.
Доверительную вероятность обычно выбирают P =0,95 или P =0,99. Соответственно, уровень значимости q =0,05 или q =0,01.
Иногда для упрощения расчетов при дисперсионном анализе переходят на так называемые кодированные величины. Закодировать – это значит прибавить (или вычесть) ко всем случайным числам одно и то же число или умножить все случайные числа на одно и то же число. Например, вместо чисел 50, 64, 45, 43, вычитая из каждого показания число 50, получим кодированные числа 0, 14, -5, -8. Результаты расчетов при этом не изменятся.