2015-05-10
1328
Каждый студент выполняет индивидуальный вариант работы.
Исследование в лаборатории выполняется с помощью системы MATLAB, минимально необходимые для данной работы сведения о которой приведены в примерах приложений 3.3 и 3.4 к этим методическим указаниям. Целесообразность использования этой системы обусловлена тем, что в ней имеются встроенные специальные функции, обеспечивающие возможность исследования цифровых фильтров. Система MATLAB обеспечивает высокое качество графических представлений полученных результатов на экране монитора.
Задания в данной работе используют лишь незначительную часть возможностей MATLAB и здесь студенты могут проявить широкую личную инициативу.
Защита работы производится за компьютером у экрана дисплея, на котором студент демонстрирует и поясняет полученные им в диалоге с системой MATLAB графики, предъявляет отчет и поясняет преподавателю результаты своих экспериментальных исследований.
3. Контрольные вопросы:
1. Записать алгоритм работы, составить структурную схему ДПФ.
|
|
|
2. Перечислить свойства ДПФ.
3. Взаимосвязь ДПФ с z-преобразованием.
4. Восстановление непрерывного сигнала с помощью ДПФ.
5. Круговая свертка дискретных сигналов.
6. Дискретная фильтрация с помощью ДПФ.
7. Задается преподавателем.
4. Литература:
1. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов. 2-е изд. – СПб.: Питер, 2007.- 751 с.: ил.
2. Солонина А. И. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в MATLAB – СПб.: БХВ-Петербург, 2008. – 816 с.: ил. – (Учебное пособие)
3. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций / Авторы: А. И. Солонина, Д. А. Улахович, С.М. Арбузов, Е. Б. Соловьева / 2-е изд. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 768 с.: ил.
4. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ./ Под. ред. С. Я. Шаца. – М.: Связь, 1979. – 416 стр., ил.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3.1
3.1. Дискретное преобразование Фурье
Дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) называется пара взаимно однозначных преобразований – дискретных рядов Фурье:
- прямое ДПФ (Discrete Fourier Transform – DFT) – дискретный ряд Фурье в частотной области:
- обратное ДПФ (ОДПФ) (Inverse Discrete Fourier Transform – IDFT) – дискретный ряд Фурье во временной области:
где:
n – дискретное нормированное время n=nT/T;
k – дискретная нормированная частота k=k∆ω/∆ω, а ∆ω – период дискретизации по частоте, который при частоте дискретизации ωд=2π/T равен:
x(n), n=0,1,…,N-1 – N-точечная последовательность – периодическая последовательность с периодом N в области дискретного нормированного времени;
X(k), k=0,1,…, N-1 – N-точечное ДПФ – периодическая последовательность с периодом N в области дискретной нормированной частоты;
-поворачивающий множитель:
|
|
|
– k-я дискретная гармоника.
ДПФ (3.1.1) трактуется по-разному, в зависимости от вида последовательности x(n) – периодическая с периодом N или конечная длины N.
Для периодической последовательности x(n) с периодом N ДПФ (3.1.1) представляет собой алгоритм вычисления ее спектра (с точностью до постоянного множителя 1/N).
Для конечной последовательности x(n) длины N ДПФ (3.1.1) представляет собой алгоритм вычисления ее спектральной плотности X(ejωT) (с точностью до постоянного множителя 1/N) в N дискретных точках на периоде ωд:
при этом по N-точечному ДПФ гарантируется точное восстановление непрерывной спектральной плотности X(ejωT), по крайней мере, теоретически. В обоих случаях при вычислениях по формулам (3.1.1) - (3.1.2) общепринято N называть длиной последовательности и ДПФ.
Для вещественных последовательностей x(n) модуль ДПФ является четной функцией дискретной нормированной частоты k:
(3.1.3)
а аргумент arg{X(k)} – нечетной:
При вычислении с помощью ДПФ модуля спектра (модуля спектральной плотности) вещественной последовательности постоянный множитель равен:
(3.1.4)
Для комплексных последовательностей постоянный множитель равен 1/N. Если с помощью ДПФ рассчитывается спектр Xa(k) периодического аналогового сигнала x(t), то следует помнить, что точный расчет возможен только при финитном спектре, расположенном в области:
Аналогично если с помощью ДПФ рассчитывается спектральная плотность Xa(jω) непериодического аналогового сигнала x(t), то точный расчет возможен только при финитной спектральной плотности, расположенной в области:
.
В противном случае, при расчете с помощью ДПФ спектра (спектральной плотности) в ДПФ будет иметь место наложение спектров в области дискретных нормированных частот k=mN/2, m=…,-3,-1,0,1,3,…, а, следовательно, в спектре (спектральной плотности) появятся необратимые искажения в области верхних частот.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3.2.
1. Определить ДПФ последовательности {1,0,0,1}
х(0)=1; х(Т)=0; х(2Т)=0; х(3Т)=1; период N=4.
Решение: по формуле:
где 
и n = 0,…, N-1.,
определяем 
:
,
Подставляя значения номера гармоник k, получаем:
k=0: x(0)=х(0)+х(1)W-k+х(2)W-2k+х(3)W-3k = x(0)+x(1)+x(2)+x(3)=1+0+0+1=2
k=1:x(1) = 1+i;
k=2: x(2) =1-1=0;
k=3: x(3) =1-i;
ДПФ последовательности имеет вид: {2, 1+i, 0, 1-i}
2. Определить ОДПФ для последовательности {2, 1+i, 0, 1-i}.
Решение:
по формуле:
определяем ОДПФ для всех значений n:
n=0: 
= 1/4[x(0)+x(1)+x(2)+x(3)]=1/4[2+(1+i)+0+(1-i)]=1
= 1/4(2+i-1-i-1) = 0,
1/4[2-(1+i)-(1-i)] = 0,
1/4(2-i+1+i+1) = 1,
таким образом, 
= {1,0,0,1}.
Пример показывает, что дискретное преобразование Фурье является однозначным преобразованием.
Проверить приведенный пример с помощью функций fft и ifft.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3.3
