Квадратурные формулы с равностоящими узлами применяются для вычисления интеграла:
с постоянной весовой функцией и конечным отрезком интегрирования.
1.1.1. Квадратурная формула прямоугольников
Пусть на отрезке задана функция . Введем сетку, разбивающую отрезок на N равностоящих узлов.
где , шаг и обозначим
Выберем на каждом сегменте серединную точку и обозначим
Квадратурная формула прямоугольников имеет вид:
Если функции непрерывны на отрезке , то остаточный член имеет вид:
, где
1.1.2. Квадратурная формула трапеций имеет вид:
или
Если функции непрерывны на , то остаточный член представляется в виде:
,
где
1.1.3. Квадратурная формула Симпсона
Выберем на каждом сегменте серединную точку и обозначим
Квадратурная формула Симпсона имеет вид:
Также можно взять удвоенный частичный отрезок, обозначив , и .
В результате получим другой вариант формулы Симпсона:
При этом, если функция имеет на отрезке непрерывные производные до четвертого порядка включительно, то остаточный член имеет вид:
|
|
,
где
Решая неравенство относительно h для остаточных членов любой из квадратурных формул и делая вычисления с таким шагом, получаем заданную точность вычисления.