Если среди корней характеристического уравнения есть комплексный корень , а значит, и сопряженный ему корень (по свойству алгебраических уравнений с действительными коэффициентами), то компонента общего решения системы, соответствующая этой паре корней, записывается в виде
где – произвольные постоянные.
СДУ, описывающая ДПТ НВ, в матричном виде:
Зададим параметры ДПТ в MathCAD:
Матрицы параметров и единичная матрица:
Корни характеристического уравнения:
Корни комплексно сопряженные, значит достаточно определить собственный вектор только для одного из них. Найдем собственный вектор матрицы A для значения из системы уравнений :
Примем для удобства и найдем из второго уравнения получившейся системы, являющегося наиболее простым:
В MathCAD:
Общее решение однородной СДУ:
где – постоянные интегрирования.
Пункт 2. Частное решение неоднородной СДУ физически представляет собой статический режим работы ЭМС, то есть состояние при . Исходя из этого, частное решение неоднородной СДУ, можно получить при подстановке в СДУ значения . Как известно, при этом производные обращаются в ноль, и СДУ превращается в систему алгебраических уравнений (СЛАУ), которую можно решить одним из методов линейной алгебры.
Найдем частное решение неоднородной СДУ при :
Решим полученную СЛАУ в MathCAD методом обратной матрицы:
Полученное частное решение является физически адекватным, так как при пуске вхолостую ток двигателя устанавливается на нулевом значении, а двигатель разгоняется до скорости идеального холостого хода.
Пункты 3 и 4. Для нахождения частного решения неоднородной СДУ, удовлетворяющего заданным начальным условиям , необходимо записать общее решение в виде суммы , а затем подставить в него значения . В результате этой подстановки получится СЛАУ, в которой неизвестными будут выступать постоянные интегрирования . Полученную СЛАУ можно решить любым известным методом линейной алгебры.
Общее решение СДУ:
Найдем постоянные интегрирования при нулевых начальных условиях: .
Решение СЛАУ в MathCAD методом обратной матрицы:
Отметим, что при работе ДПТ НВ на холостом ходу первая постоянная интегрирования равна нулю.
Запишем получившиеся зависимости тока и скорости от времени.
Рис.5. Переходные процессы в ДПТ НВ при решении СДУ классическим методом