Общие положения и определения

Трехфазная цепь - это совокупность трех электрических цепей, в каждой из которых действует своя ЭДС, причем, все они одинаковы по величине и сдвинуты по фазе относительно друг друга на треть периода.

Трехфазный генератор вырабатывает три ЭДС, которые записываются в комплексном виде следующим образом:

Обмотки генератора и нагрузка могут соединяться двумя способами:в звезду и треугольник.

1.1. Соединение в звезду

Для соединения потребителей ψψзвездой (рисунок 3.20)три их конца – X₁, Y₁, Z₁ соединяют в одну общую точку N₁ – нейтральнуюточку.

Начало фаз приемника А₁, В₁, С₁соединяют с началом обмоток генератора (А, В, С) проводами, называемыми линейными (АА₁, ВВ₁, СС₁).

Четвертый провод, соединяющий нейтральные точки генератора N и приемника N₁, называется нейтральным.

На схеме (рис. 1) изображена четырехпроводная цепь, где показаны условно положительные направления, принятые для всех токов и напряжений трехфазной цепи.

ЭДС между началом каждой фазы генератора и его нейтральной точки называется фазной ЭДС генератора , , , а между началами фаз – линейными ЭДС генератора , , .

Для приемника фазные напряжения определяются так же, как и для генератора.

Если пренебречь сопротивлениями всех линейных проводов, то потенциалы точек «А» и «А₁», «В» и «В₁», «С» и «С₁» будут равны, поэтому в четырехпроводной цепи фазные напряжения приемника и ЭДС генератора всегда равны

, ,

Соотношение между линейными и фазными напряжениями определяются в общем случае по второму

Рис. 1. Схема соединения потребителя звездой

закону Кирхгофа (в геометрическойили комплексной форме):

В симметричной цепи при и

несимметричной, когда при малых сопротив-лениях линейных проводов существует связь между линейными и фазными напряжениями:

Ток бывает фазный и линейный: фазный – это ток в фазах генератора или приемника, линейный – это ток в линейных провода. В звезде участки фаз генератора, линии и фаз нагрузки соединены последовательно, поэтому

.

В четырехпроводной цепи при отсутствии сопротивления в нулевом проводе токи могут быть найдены по закону Ома в комплексной форме

Угол сдвига фаз этих токов по отношению к соответствующим фазным напряжениям определяется характером нагрузки (активная, индуктивная, емкостная).

Для симметричной нагрузки углы сдвига фаз обязательно равны между собой.

Если применять второй закон Кирхгофа для узла N1 (рис. 1),то можно определить вектор нейтрального тока

или

При симметричной нагрузке сумма (3.47) равна нулю. Отсюда следует вывод: при симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе отсутствует, поэтому необходимость в нем отпадает.

При несимметричной нагрузке с нейтральным проводом токи в фазах, различны, но за счет нейтрального провода напряжение на каждой фазе приемника с изменением нагрузки практически остается постоянным и равным фазному напряжению генератора. Значит, нейтральный провод обеспечивает симметрию фазных напряжений приемника при несимметричной нагрузке.

Активная мощность в несимметричной цепи трехфазного тока определяется как сумма мощностей отдельных ее фаз и мощность, рассеиваемая на нагрев нулевого провода

или когда сопротивлением нулевого провода можно пренебречь, или цепь симметрична:

,

или

,

где

при чисто активной нагрузке, при чисто реактивной нагрузке

,

а в остальных случаях имеет промежуточное значение.

В симметричной цепи трехфазного тока активная мощность может быть найдена из выражений:

, .

В случае, когда сопротивлениями в линейных и нейтральном проводах нельзя пренебрегать, расчет такой цепи может быть выполнен по любому известному методу, например, методу контурных токов.

Пример 1. Расчет трехфазной цепи соединенной в звезду методом контурных токов.

Расчетная схема цепи изображена на рис. 2. Обозначения на схеме даны в соответствии с возможностью индексирования в MATLAB.

Рис. 2. Расчетная схема трехфазной цепи при соединении генератора и нагрузки по схеме звезда/звезда

Расчет сделан с учетом наличия некоторых сопротивлений в проводах линии и нейтральном проводе.

В данном примере, для пояснения выводимых данных применена функция disp('ТЕКСТ'). Она позволяет в любом месте программы вывести на экран любой текст, введенный в нее и заключенный в кавычки. Данная функция может выводить только текстовые значения переменных, поэтому если необходимо вывести их числовое значение, то предварительно значение переменной следует преобразо вать в текстовый формат. Это достигается применением функции num2str(Sg). Функции disp и num2str позволяют осуществить вывод рассчитанных значений переменных в удобной для восприятия форме, в строчку, как показано далее. В начале программы применен оператор clc, который каждый раз при выполнении программы очищает окно текущей сессии от старых данных, что весьма удобно на практике. В конце программы, помещен оператор clearall, который очищает все переменные и рабочее пространство программы, высвобождая тем самым, оперативную память.

%Программа для расчета 3-х фазной цепи звезда/звезда

%Расчет выполнен методом контурных токов

clc % Очистка окна сессии перед выводом результатов решения

% Исходные данные

E=220;

Zla=5+5*j; % Полное сопротивление линейного провода АА1

Zlb=5+10*j; % Полное сопротивление линейного провода ВВ1

Zlc=5+15*j; % Полное сопротивление линейного провода СС1

Zo=2+5*j; % Полное сопротивление линейного провода ОО1

Za=50+15*j; % Полное сопротивление фазы А

Zb=50+15*j; % Полное сопротивление фазы В

Zc=50+15*j; % Полное сопротивление фазы С

% РЕШЕНИЕ

% Определяем фазные и линейные напряжения генератора

Ea=E;

Eb=E*(-0.5-0.866*j);

Ec=E*(-0.5+0.866*j);

Eab=Ea-Eb;

Ebc=Eb-Ec;

Eca=Ec-Ea;

% Вводим матрицы коэффициентов уравнений по законам Кирх-

гофа

A=[Zla+Za+ZoZoZo;

ZoZlb+Zb+ZoZo;

ZoZoZlc+Zc+Zo];

B=[Ea 0 0;

Eb 0 0;

Ec 0 0];

I=(A\B);

disp('Линейные токи выводятся в следующем порядке:Ia,

Ib, Ic, А')

k=1:1:3;

I=I(k,1)

disp('Ток в нулевом проводе, Io, А')

Io=I(1,1)+I(2,1)+I(3,1)

% Определяем фазные напряжения и потери в линии

disp('Фазные напряжения:Ua, Ub, Uc и смещение нуля Uo,

В')

Ua=Za*I(1,1)

Ub=Zb*I(2,1)

Uc=Zc*I(3,1)

Uo=Zo*Io

disp('Действующие значения фазных напряжений:Ua, Ub, Uc

и смещения нуля Uo, В')

Uda=abs(Ua)

Udb=abs(Ub)

Udc=abs(Uc)

Udo=abs(Uo)

disp('Потери в линии UIa, UIb, UIc, В')

Ula=Zla*I(1,1)

Ulb=Zlb*I(2,1)

Ulc=Zlc*I(3,1)

%Мощность генератора Sg, ВА:

Sg=I(1,1)'*Ea+I(2,1)'*Eb+I(3,1)'*Ec;

%МощностьнагрузкиSn, ВА:

Sn=abs(I(1,1))^2*(Zla+Za)+abs(I(2,1))^2*(Zlb+Zb)+abs(I(3,

1))^2*(Zlc+Zc)+abs(Io)^2*Zo;

Sb=Sg-Sn;

disp([' Мощностьгенератора, ВАSg =',num2str(Sg)])

disp([' Мощностьнагрузки, ВАSn =',num2str(Sn)])

disp([' Балансмощности, ВАSb =',num2str(Sb)])

Id=[I(1,1) I(2,1) I(3,1) Io];

clear all

В результате выполнения программы имеем:

Линейные токи выводятся в следующем порядке: I_a, I_b, I_c, А

I =

3.5095 - 1.3145i

-2.9873 - 2.1445i

-0.11096 + 3.4861i

Ток в нулевом проводе, I _o, А

Io =

0.41126 + 0.027081i

Фазные напряжения: U_a, U_b, U_c и смещение нуля U _o, В

Ua =

195.19 - 13.085i

Ub =

-117.2 - 152.04i

Uc =

-57.84 + 172.64i

Uo =

0.68711 + 2.1105i

Действующие значения фазных напряжений: U_a, U_b, U_c и смещения нуля U _o, В

Uda =

195.63

Udb =

191.96

Udc =

182.07

Udo =

2.2195

Потери в линии UI_a, UI_b, UI_c, В

Ula =

24.12 + 10.975i

Ulb =

6.5088 - 40.595i

Ulc =

-52.847 + 15.766i

Мощность генератора, ВА Sg =2185.6482+984.77636i

Мощность нагрузки, ВА Sn =2185.6482+984.77636i

Баланс мощности, ВА Sb =-4.5475e-013-4.5475e-013i

1.2. Соединение в треугольник

Если три фазы приемника с фазными сопротивлениями , , , включить непосредственно между линейными проводами трехпроводной цепи, то получим соединение приемников треугольником (рис. 3).

Так как при соединении треугольником к концам каждой фазы потребителя приложено линейное напряжение, то линейные напряжения будут являться одновременно и фазными, т. е.

(1)

Рис. 3. Схема соединение потребителей треугольником

Если пренебречь сопротивлениями линейных проводов, то фазные напряжения приемника равны соответствующим линейным напряжениям источника питания, а они практически неизменны.

.

Фазные и линейные токи не равны между собой, соотношение между ними можно получить по первому закону Кирхгофа, записанному для узлов схемы геометрической форме

.

Из уравнений (2) следует, что любой из линейных токов равен геометрической разности токов тех двух фаз нагрузки, которые соединяются с данным линейным проводом.

Независимо от характера нагрузки геометрическая сумма линейных токов в трехпроводной цепи равна нулю:

.

Если сопротивления фаз приемника известны, то пренебрегая сопротивлением линейных проводов, величину фазных токов определяют по закону Ома

.

При симметричной нагрузке линейные и фазные токи равны по величине, причем

.

Активная и реактивная мощности определятся с учетом выражения(1) для симметричной цепи таким образом:

.

В случае, когда сопротивлениями в линейных проводах нельзя пренебрегать, расчет такой цепи может быть выполнен по любому известному методу, например, методу контурных токов.

Пример 2. Расчет трехфазной цепи соединенной в треугольник методом контурных токов. Расчетная схема приведена на рис. 4.

Рис. 4. Расчетная схема трехфазной цепи при соединении нагрузки в треугольник для метода контурных токов

% Программа расчета цепи трехфазного тока звезда/треугольник

% методом контурных токов

% Исходные данные

clc

E=220;

Zla=5+5*j;

Zlb=6-3*j;

Zlc=7+5*j;

Za=50+50*j;

Zb=75+20*j;

Zc=45+10*j;

% РЕШЕНИЕ

% Определяем фазные и линейные напряжения генератора

Ea=E;

Eb=E*(-0.5-0.866*j);

Ec=E*(-0.5+0.866*j);

Eab=Ea-Eb;

Ebc=Eb-Ec;

Eca=Ec-Ea;

% Вводим матрицы коэффициентов уравнений по законам Кирхгофа

A=[(Zla+Zlc+Zc) -Zlc -Zc;

-Zlc (Zlb+Zb+Zlc) -Zb;

ZcZb-(Zc+Za+Zb)];

B=[(Ea-Ec) 0 0;

(Ec-Eb) 0 0;

0 0 0];

I=(A\B);

disp('Контурные токи выводятся в следующем порядке: I1,

I2, I3, А')

k=1:1:3;

I=I(k,1)

disp('Реальные токи будут равны, А:')

Ia=I(1,1)

Ib=-I(2,1)

Ic=I(2,1)-I(1,1)

Iab=I(3,1)

Ibc=I(3,1)-I(2,1)

Ica=I(3,1)-I(1,1)

% Определяем фазные напряжения и потери в линии

disp('Фазные напряжения:Ua, Ub, Uc, В')

Ua=Za*Iab

Ub=Zb*Ibc

Uc=Zc*Ica

disp('Действующие значения фазных напряжений:Ua, Ub,Uc, В')

Uda=abs(Ua)

Udb=abs(Ub)

Udc=abs(Uc)

disp('ПотеривлинииUIa, UIb, UIc, В')

Ula=Zla*Ia

Ulb=Zlb*Ib

Ulc=Zlc*Ic

%Мощность генератора Sg:

Sg=Ia'*Ea+Ib'*Eb+Ic'*Ec;

%МощностьнагрузкиSn:

Sn=abs(Iab)^2*Za+abs(Ibc)^2*Zb+abs(Ica)^2*Zc+abs(Ia)^2*Zl

a+abs(Ib)^2*Zlb+abs(Ic)^2*Zlc;

Sb=Sg-Sn;

disp([' Мощностьгенератора, ВАSg =',num2str(Sg)])

disp([' Мощностьнагрузки, ВАSn =',num2str(Sn)])

disp([' Балансмощности, ВАSb =',num2str(Sb)])

clearall

В результате выполнения программы имеем:

Контурные токи выводятся в следующем порядке: I ₁, I ₂, I ₃, А

I =

7.6485 - 4.8642i

5.2643 + 3.5032i

3.9671 - 0.53968i

Реальные токи будут равны, А:

Ia =7.6485 - 4.8642i

Ib =-5.2643 - 3.5032i

Ic =-2.3842 + 8.3675i

Iab =3.9671 - 0.53968i

Ibc =-1.2972 - 4.0429i

Ica =-3.6814 + 4.3245i

Фазные напряжения: U_a, U_b, U_c, В.

Ua =

225.34 + 171.37i

Ub =

-16.431 - 329.16i

Uc =

-208.91 + 157.79i

Действующие значения фазных напряжений: U_a, U_b, U_c, В.

Uda =

283.1

Udb =

329.57

Udc =

261.8

Потери в линии UI_a, UI_b, UI_c, В.

Ula =

62.564 + 13.922i

Ulb =

-42.096 - 5.2264i

Ulc =

-58.527 + 46.651i

Мощность генератора, ВА Sg =4785.6232+2153.9125i

Мощность нагрузки, ВА Sn =4785.6232+2153.9125i

Баланс мощности, ВА Sb =0-4.5475e-013i

Как видим, и в примере 1 и в примере 2 баланс мощности сошелся, значит, расчет выполнен, верно.

Приложение 2