Разделив каждое уравнение системы на соответствующий диагональный коэффициент, сформируем столбец в левой части и перенесем остальные слагаемые в правую часть и получим рабочие формулы МПИ вида:
где k=0,1,2…
Начальное приближение обычно выбирают равным столбцу свободных членов преобразованной системы . Процесс заканчивается при одновременном выполнении трех условий:
, , .
В этом случае значения являются приближенными значениями решения СЛАУ.
Метод Зейделя. Более быструю скорость сходимости имеет метод Зейделя, в котором найденное -е приближение сразу же используется для получения -го приближения последующих координат (Рис.1).
Рис.1 |
Рабочие формулы метода Зейделя запишутся так:
где k=0,1,2…
Условия выхода итерационного процесса и выбор начального приближения аналогичны МПИ.
Блок-схема метода простых итераций и метода Зейделя приведена на рисунке 2.
Рис.1 Схема МПИ и метода Зейделя.
Тексты программ:
1) МПИ:
Program P5;
uses Crt;
var n:integer;
x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;
begin
clrscr;
n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;
writeln (' n x(i) x(i-1) RAZ(x) y(i) y(i-1) RAZ(y) z(i) z(i-1) RAZ(z)');
repeat
xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;
rx:=x;
yn:=-0.6+0.6*x+0.1*z;
ry:=y;
zn:=0.2-0.2*x+0.2*y;
rz:=z;
writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);
x:=xn;
y:=yn;
z:=zn;
n:=n+1;
until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);
readln;
end.
2) Метод Зейделя:
Program P5; {Zeydel}
uses Crt;
var n:integer;
x0,x,xn,y0,y,yn,z0,z,zn,eps,rx,ry,rz:real;
begin
clrscr;
n:=0; x0:=1; x:=x0; y0:=-0.6; y:=y0; z0:=0.2; z:=z0; eps:=0.001;
writeln (' n x(i) x(i-1) RAZ(x) y(i) y(i-1) RAZ(y) z(i) z(i-1) RAZ(z)');
repeat
xn:=1-(1/6)*y+(5/12)*z;
rx:=x;
yn:=-0.6+0.6*xn+0.1*z;
ry:=y;
zn:=0.2-0.2*xn+0.2*yn;
rz:=z;
writeln (n:3, x:8:4, xn:8:4, (xn-x):8:4, y:8:4, yn:8:4, (yn-y):8:4, z:8:4, zn:8:4, (zn-y):8:4);
x:=xn;
y:=yn;
z:=zn;
n:=n+1;
until (abs(x-rx)<=eps) and (abs(y-ry)<=eps) and (abs(z-rz)<=eps);
readln;
end.
Результаты отработки программы:
· Рис.2 – программы, работающей по методу простых итераций;
· Рис.3 – программы, работающей по методу Ньютона.
Рис.2. Ответ: х(10)≈0.9999, y(10)≈-0.0002, z(10)≈0.0002.
Рис.2. Ответ: х(5)≈1.0001, y(5)≈0.0000, z(5)≈-0.0000.