Лабораторная работа №9
МЕТОД РУНГЕ-КУТТА
Цель работы
Методом Рунге-Кутта определить значения приближённого решения ,
,
заданного дифференциального уравнения первого порядка. Вычисления проводить с пятью знаками после запятой, ответ записать с четырьмя знаками после запятой.
Содержание отчета
1. Постановка задачи.
2. Вычисления ,
,
, оформленные в виде таблицы.
Теоретические сведения
Рассмотрим дифференциальное уравнение с начальным условием
.
Выбрав достаточно малый шаг , строим последовательность равноотстоящих точек
(
).
Требуется вычислить значения приближённого решения
(
).
Решить эту задачу можно методом Рунге-Кутта. Метод Рунге-Кутта является одношаговым методом, т.е. по значению приближённого решения в одной точке можно этим методом вычислить значение приближённого решения в следующей точке
.
Для продвижения на один шаг из точки (
) необходимо вычислить:
1) ,
,
,
- по формулам:
;
;
;
;
2) ;
3) .
Погрешность метода Рунге-Кутта на одном шаге есть величина порядка .
|
|
Вычисления методом Рунге-Кутта значений ,
,
оформляем в виде табл. 9.1:
Таблица 9.1
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() |
Ответ: ;
;
.
Пример. Методом Рунге-Кутта найти значения приближённого решения ,
,
дифференциального уравнения
с начальным условием и шагом таблицы
.
Вычисления оформляем в виде табл. 9.2:
Таблица 9.2
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | 0,00287 | |||
0,05 | 0,00 | 0,02800 | 0,00280 | ||
0,05 | 0,00140 | 0,02747 | 0,00275 | ||
0,1 | 0,00275 | 0,06129 | 0,00613 | ||
![]() | ![]() | 0,06126 | 0,00613 | 0,01023 | |
0,15 | 0,00593 | 0,10121 | 0,01012 | ||
0,15 | 0,00793 | 0,10097 | 0,01010 | ||
0,2 | 0,01297 | 0,14794 | 0,01479 | ||
![]() | ![]() | 0,14794 | 0,01479 | 0,02043 | |
0,25 | 0,02049 | 0,20256 | 0,02026 | ||
0,25 | 0,02323 | 0,20297 | 0,02030 | ||
0,3 | 0,03340 | 0,26669 | 0,02667 | ||
![]() | ![]() |
Ответ: 0,0029;
0,0131;
0,0335.
Варианты лабораторных работ
Номер Варианта | Дифференциальное уравнение | Начальное условие |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() |
Шаг таблицы для всех вариантов работ равен .