Figure(2)

nyquist(h,{0.1,5}),grid on %АФХ соединения трех звеньев.

Рис.3 Логарифмические характеристики разомкнутой системы.

Активизируя левую кнопку мыши на ЛАЧ характеристике (рис.3) можно определить угловые частоты и составляющие векторов АФХ для каждой точки кривой. При низких частотах модуль вектора АФХ (вектор | |) значительно больше 2 и обратная связь отрицательная, а при увеличении частоты модуль вектора АФХ уменьшается, что преобразует отрицательную обратную связь в положительную обратную связь. Данные для некоторых частот приведем в таб.1.

таб.1

№	ω	Real	Imag	\| (ω)\|
	0.125	-2.07.	-7.47	7.75
	0.25	-1.75	-3.11	3.57
	0.325	-1.54	-2.07	2.58
	0.4	-1.33	-1.41	1.94
	0.5	-1.09	-0.887	1.4
	0.6	-0.888	-0.576	1.06
	1.0	-0.414	-0.11	0.43

Из таб.1 следует, что примерно на частоте ω₁= 0.4 модуль вектора АФХ становится равным 2 и обратная связь из отрицательной преобразуется в положительную.

Определим частоту среза из логарифмических характеристик, используя левую кнопку мыши. Из анализа получим, что = 0.62 . Сравнивая ω₁ и получим, что положительная обратная связь устанавливается в полосе существенных частот, в окрестности частоты среза

Из таб.1 следует, что с повышением частоты глубина обратной связи уменьшается, и отрицательная обратная связь плавно переходит в положительную обратную связь. Этот переход наблюдается примерно на частоте = /2. Следовательно, ниже /2 связь становится положительной, плавно растет, достигает максимума примерно на частоте ω= , а затем становится незначительной. Качество системы регулирования определяется глубиной обратной связи | |. При | |>>1 (т.е. при ) связь отрицательная, при | |<1 (т.е. при ) связь положительная, а при (т.е. при ) связь незначительная.

Рис.4 АФХ разомкнутой системы.

На рис.4 представлена АФХ, соответствующая выражению (3). К каждой точке АФХ можно провести векторы и , которые наглядно показывают изменение свойст обратной связи в функции частоты.

Умение проектировать систему с заданными частотными свойствами - важная задача, так как сигналы, частотный спектр которых находится в диапазоне отрицательной обратной связи, хорошо отрабатываются системой, (отрицательная обратная связь улучшает точность систем регулирования, уменьшает действие помех и разных дестабилизирующих факторов). Сигналы, частотный спектр которых находится в диапазоне положительной обратной связи, плохо отрабатываются системой (положительная обратная связь снижает точность систем регулирования, повышает действие помех и дестабилизирующих факторов).

Работает ли система в области положительной или отрицательной обратной связи зависит от свойст системы и частоты, что и иллюстрируются структурными схемами (рис.5).

Рис.5 Структурные схемы исследуемой системы (bodsi_01.mdl).

Структурные схемы (рис.5) объединены в два блока А и В. Назначение каждого блока реализовать для конкретной системы выражение (2), в котором отношение выходного сигнала ко входному определены в приращениях. Блок А, как и блок В, состоит из двух одинаковых систем регулирования, на которые подаются гармонические сигналы одинаковой частоты, но разной амплитуды. Частоты сигналов выбраны так, чтобы для блока А тестовый сигнал находился в области отрицательной обратной связи (ω=0.25 ), а в блоке В – в области положительной обратной связи (ω=1 ).

За счет разных амплитуд (ввод масштабных усилителей на входах сумматоров) получим приращение выходного и входного сигналов. Отношение приращений выходных сигналов (блок sum 5) к приращениям входных сигналов (блок sum 6) позволяет судить о знаке обратной связи блока А (рис.5).

Блок работает аналогично. Приращение выходного сигнала фиксируется на выходе сумматора sum 7, а приращение входного сигнала - на выходе сумматора sum 4 (рис.6).

Рис.6 Выходные сигналы блока А (1 – входной сигнал, 2 – выходной сигнал, (ω=0.25 )).

Из рис.6 следует, что отношение выходного сигнала (осциллограмма 2) к входному сигналу (осциллограмма 1) меньше единицы, что свидетельствует о отрицательной обратной связи.

Рис.7 Выходные сигналы блока В (1 – входной сигнал, 2 – выходной сигнал, (ω=1 )).

Из рис.7 следует, что отношение выходного сигнала (осциллограмма 2) к входному сигналу (осциллограмма 1) больше единицы, что свидетельствует о положительной обратной связи.

При увеличении положительной обратной связи сверх некоторого значения система становится неустойчивой. Практические системы должны оставаться

Стабилизация по фазе

Стабилизация по усилению

Рис.8. Запасы устойчивости (А-запасы устойчивости на плоскости S; В-запасы устойчивости на плоскости L).

устойчивыми при некоторых допустимых вариациях параметров объекта и, следовательно, при некоторых допустимых вариациях передаточной функции разомкнутой системы (возвратного отношения ). Запасы устойчивости задают запретную область вокруг критической точки (-1, . На комплексной плоскости запретная область имеет форму сегмента (рис.8.А), образованного лучами, проведенными из начала координат под углом ± , и окружностями радиуса и . На -плоскости, по оси ординат которой отложено усиление в дБ, а по оси абсцисс- фазовый сдвиг выходного сигнала в градусах, запретная область имеет вид прямоугольника (рис.8.В).

Нижние и верхние запасы устойчивости по амплитуде (Рис.8 В) составляют обычно от 6 до 12 дБ, а запас устойчивости по фазе - от 30° до 60°. Относительно большой диапазон запасов по фазе объясняются тем, что системы могут удовлетворительно работают с различными величинами перерегулирования. Обычно при уменьшении запаса по фазе перерегулирование растет. Величина перерегулирования определяется техническими требованиями к системе.

На рис.8 показаны запретные области, в которые не должен попадать вектор АФХ разомкнутой системы при изменении частоты. Если модуль АФХ разомкнутой системы находится в интервале , то не должен находится внутри сектора ((- °+ ° . В этом случае система стабилизирована по фазе. Если находится внутри сектора ((- °+ ° , то для стабилизации системы на модуль должны быть наложены ограничения: > и < . В этом случае система стабилизирована по усилению.

На рис.8 предсталены характеристики системы стабилизированной и по фазе и по усилению. На низких частотах система имеет большой коэффициент усиления и дожна быть стабилизирована по усилению. На средних частотах , кода коэффициент усиления разомкнутой системы попадает в диапазон дБ. система стабилизируется по фазе, а на частотах , при которых коэффициент усиления разомкнутой системы становится меньше дБ. система снова должна быть стабилизирована по усилению.

В ряде книг и статей запасы устойчивости определяются только в дискретных точках вместо сплошной области. Такие запасы устойчивости называются «гранично-точечными». За гранично-точечный фазовый запас устойчивости принимают фазовый запас устойчивости на частоте, где запас устойчивости по усилению нулевой (т.е. на частоте среза системы , на частоте, при которой выполняется соотношение ). Гранично-точечный запас по усилению – запас устойчивости по усилению по частоте, где запас по фазе нулевой (т.е. на частоте, где фазовый сдвиг АФХ равен -180°).

Системы можно проектировать, используя или запретную область, или гранично-точечные запасы устойчивости. Используя гранично-точечные запасы устойчивости удается получить простые регуляторы (П, ПИ, ПИД), обеспечивающие, как правило, завышенные (свыше 60°) запасы устойчивости по фазе, не позволяющие полностью реализовать возможности системы регулирования. Проектирование систем с учетом запретной области требует применения более сложных регуляторов, что позволяет проектировать системы со значительно лучшими характеристиками.

Рассмотрим этот вопрос более подробно. Инженерный синтез начинается с формирования требований к системе, которые определяют логарифмические характеристики разомкнутой системы. При использовании гранично-точечных запасов имеется возможность задать несколько логарифмических характеристик разомкнутой системы. Четких требований, какой из вариантов предпочтителен, нет. Поэтому ставится задача ввода ориентиров, который, на первых порах, задали бы направления поиска логарифмической характеристики желаемого вида. Один из вариантов такого поиска состоит в использовании интеграла глубины обратной связи . Как было ранее указано, обратная связь, в зависимости от частоты, принимает положительные | |>1 ( | |>0) или отрицательные | |<1 ( | |<0) значения. Так как интеграл от | | обращается в нуль [1]

, (4)

то площадь под отрицательной обратной связью, с учетом знака, равна площади под положительной обратной связью. Как было показано раньше, положительная обратная связь расположена в окрестности частоты среза и поэтому она существенно влияет на качество переходных процессов. Из значительного числа логарифмических характеристик, удовлетворяющих заданным требованиям, следует отдавать предпочтение тем, модуль которых на низких частотах будут иметь большее значение. Это, согласно выражению (5), приведет к уменьшению ошибки.

(5)

Известно, что в минимально-фазовых системах существует функциональная связь между логарифмическими и фазовыми характеристиками. Поэтому, если в системе имеется избыточный запас по фазе, то его можно преобразовать в запас по амплитуде в требуемом, исходя из свойст объкта, диапазоне частот.

Из сказанного следуют выводы:

1.Желание увеличить площадь отрицательной обратной связи в некотором рабочем диапазоне частот автоматически увеличивает площадь положительной обратной связи на каких-то других частотах. Величина этой положительной обратной связи зависит от расстояния между АФХ и критической точкой (рис. 8 А). Следовательно, в диапазоне частот положительной обратной связи, расстояние, характеризуемое вектором , должно поддерживаться минимальным, или, другими словами, запасы устойчивости не должны быть чрезмерными и АФХ разомкнутой системы должна близко следовать за границей устойчивости. Если в системе имеется излишний запас устойчивости по фазе, то он может быть преобразован в увеличение коэффициента усиления (глубины обратной связи) на низких частотах.

2.Так как диапазон частот, в котором обратная связь существенна и положительна, имеет обычно ширину в три-четыре октавы и расположена в окрестности частоты среза, то чрезвычайно важно правильно сформировать петлю (годографа Найквиста) в этом диапазоне. Для этого годограф Найквиста в диапазоне существенных частот не должен имеет завышенных запасов устойчивости по фазе, чем достигается увеличение отрицательной обратной связи в рабочем диапазоне частот.

Проиллюстрируем эти положения соответствующими расчетами.

Программа 2 (bod_04.m)

h=tf(50,[0.01,1,0]) %Передаточная функция оптимизированной

%разомкнутой системы, настроенной на технический оптимум.

h1=tf(100,[0.01,1,0]) %Передаточная функция разомкнутой системы

%с увеличенным коэффициентом усиления с учетом h3.

h22=tf(225,[0.01,1,0])%Передаточная функция разомкнутой системы

%с увеличенным коэффициентом усиления с учетом h4.

h3=tf([1,1],[2,1]) %Корректирующие устройство h3.

h4=tf([0.64,1.6,1],[1.44,2.4,1])%Корректирующие устройство h4.

hr1=h*h3 %Передаточная функция разомкнутой системы

% с корректирующим устройством h3