Представления интуиционизма были развиты направлением конструктивизма, выдающимися представителями которого являются А.А. Марков, Н.А. Шанин, А.Н. Колмогоров и его школы.
В частности, Шанин полагает, что в конструктивизме важным является не предмет математического исследования как таковой, а средства, алгоритмы, конструкты для решения тех или иных математических задач. В этом аспекте в противовес логицистам, стоящим на позициях актуальной бесконечности, конструктивисты обосновывают идею потенциальной бесконечности или потенциальной осуществимости бесконечности. Для этого нужно проделать 4 шага:
1. Вводим в наряду с реальной бесконечностью математическую бесконечность как возможность.
2. Мысленно приравниваем воображаемую ситуацию к реальной. При этом рассуждаем об этом воображаемом представлении, применяя методы классической логики.
3. Полагаем сконструированную нами бесконечность независимой от набора конструктивных операций.
4. Принимаем бесконечную совокупность одновременно существующих объектов в качестве не связанных вообще с какими-либо конструктивными операциями, даже и своим происхождением.
|
|
Вейн, разъясняя смысл интуиционизма, писал, что «для математика совершенно безразлично, что такое окружность, для него принципиально знать, каким образом задана окружность». Согласно Вейну, логицисты требуют дедуцировать все производные понятия из исходных, а мы, интуиционисты, полагаем, что понятия должны не выводиться, а порождаться, поэтому не аксиоматический метод построения теории, не дедукция, а конструкция, генетический метод.
Конструктивизм разрабатывает понятие алгоритма как разрешающей процедуры, распадающейся на ряд строго задаваемых действий или предписаний. Алгоритм есть последовательность операций, шагов, где каждый данный шаг однозначно детерминирован предыдущим и в свою очередь столь же однозначно детерминирует следующий шаг, т.е. мы знаем, что и в какой последовательности надо делать: умножение, извлечение корня и т.д.
Таким образом, конструктивизм несколько смягчил позицию интуиционизма, однако в целом предстаёт как направление математики, которое можно поименовать как антилогицизм.