Пример 1. Найти производную второго порядка функции .
Решение.
Шаг 1. Найдем первую производную функции:
.
Шаг 2. Найдем вторую производную
.
Ответ:
Пример 2. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .
Решение.
Шаг 1. Найдем первую производную функции .
Шаг 2. Найдем вторую производную .
Шаг 3. Решим уравнение: .
,
.
Шаг 4. Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:
Промежуток | ![]() | ![]() |
Знак ![]() | – | + |
Направление выпуклости | Ç | È |
Так как на промежутке
, то функция выпукла на этом промежутке. На промежутке
, следовательно, функция вогнута на
. Так как при переходе через точку
вторая производная изменяет свой знак, то
– точка перегиба.
Найдем значение функции в точке перегиба .
Ответ: функция выпукла на , вогнута на
,
– точка перегиба.