Определение. Будем говорить, что события В , В , …, В образуют полную группу событий, если:
1. Событие В + В + …+ В достоверное;
2. События Вi и Вj – попарно несовместные (i= 1,2,…,n, j= 1,2,…,n, i j).
Утверждение. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1.
Пример. Студент на экзамене может получить одну из четырех оценок: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно» и «неудовлетворительно». События – получил «отлично»,
– получил «хорошо»,
– получил «удовлетворительно»,
– получил «неудовлетворительно»
попарно несовместные и в сумме – событие достоверное, так как обязательно происходит одно из этих событий. Следовательно, события В , В , В , В4 образуют полную группу событий.
Для нахождения вероятности события А, которое может произойти при условии осуществления одного из несовместных событий В , В , …, В , образующих полную группу, используется формула:
Р(А)=
Эта формула называется формулой полной вероятности.
События В , В , …, В называются гипотезами.
Пример. В урну, содержащую два шара, опущен зеленый шар. Найти вероятность того, что будет вытащен из урны зеленый шар, если равновероятны первоначальные представления о цвете шаров.
|
|
Решение. Событие А– извлечен зеленый шар.
Возможны следующие гипотезы о первоначальном составе шаров:
В – первоначально зеленых шаров не было в урне;
В – был 1 зеленый шар;
В – оба шара зеленые.
По условию задачи гипотезы равновероятны и образуют полную группу событий, следовательно, вероятность каждой из гипотез равна ⅓, то есть Р(В )= Р(В ) = Р(В ) = ⅓. Тогда условные вероятности наступления события А при появлении каждой из гипотез будут соответственно равны:
Р (А) = ⅓; Р (А) = ⅔; Р (А) =1.
Отсюда по формуле полной вероятности получаем:
Р(А) = Р(В ) · Р (А) + Р(В ) · Р (А) + Р(В ) · Р (А).
Р(А) = ⅓ · ⅓ + ⅓ · ⅔ + ⅔ · 1 = ⅔.
Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В , В , …, В , образующих полную группу событий.
Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез В , В , …, В могут быть переоценены по следующей формуле:
Р (B )= ,
где i = 1, 2, 3,…, n.
Эта формула называется формулой Байеса.
Пример. Два автомата производят одинаковые детали, поступающие на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй 84%. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь сделана первым автоматом.
Решение. Рассмотрим событие А – деталь отличного качества.
Можно составить две гипотезы:
|
|
В – деталь сделана первым автоматом, причем Р(В ) = ⅔, так как его производительность вдвое больше производительности второго автомата.
В – деталь сделана вторым автоматом, причем Р(В ) = ⅓.
Условная вероятность появления события А при выполнении гипотезы В равна Р (А) = 0,6.
Условная вероятность появления события А при выполнении гипотезы В равна: Р (А) = 0,84.
Отсюда вероятность появления события А равна:
Р(А) = ⅔ · 0,6 + ⅓ · 0,84 = 0,68.
Тогда вероятность того, что деталь отличного качества сделана первым автоматом, по формуле Байеса равна:
Р (В ) = = .