Пределы применимости закона Дарси

Рис. 3

Дарси экспериментально установил: расход жидкости через трубку с пористой средой прямо пропорционален потере напора и площади поперечного сечения трубки (модели пласта) и обратно пропорционален длине трубки (пласта), т.е.

(1.9)

где С - коэффициент фильтрации, зависящий как от свойств пористой среды, так и от свойств фильтрующейся жидкости; H₁ и H₂- полные напоры в начальном и конечном сечениях образца пористой среды(модели пласта).

Обычно скоростным напором V²/2g пренебрегают в виду его малости. Поэтому Н = Z+P/g, где Z - высота положения, P/g = P/rg - пьезометрический напор.

Учитывая, что -гидравлический уклон, поэтому

, (1.10)

или (1.11)

Так как i- величина безразмерная, поэтому коэффициент фильтрации имеет размерность скорости, т.к. [c]=м/с

В теории фильтрации нефти и газа закон Дарси записывается по-иному (были разделены влияния простой среды и жидкости):

или , (1.12)

где k- коэффициент проницаемости, характеризующий пористую среду;

- коэффициент абсолютной вязкости фильтрующейся жидкости;

g= rg - объемный вес жидкости;

Р = gН - приведенное(к плоскости отсчета напоров) давление;

очевидно оно совпадает с истинным при Z=0

Сравнивая (1.9) и (1.12), находим связь между коэффициентами фильтрации С и проницаемости k:

С= (1.13)

Закон Дарси можно записать и в дифференциальной форме. Для этого возьмем трубку тока переменного сечения и выделим два поперечных сечения на расстоянии dS друг от друга (Рис. 4).

Рис. 4

Для установившегося (стационарного) движения Н=Н(S). Поэтому можно записать: Н₁= Н(S); Н₂⁼Н(S+dS)=Н(S)+ Тогда основной закон Дарси (1.9), представленный через скорость фильтрации, примет вид:

(1.14)

или с учетом (23)

. (1.15)

Знак «минус», появившийся в формуле (1.15), указывает на то, что приведенное давление (или напор) уменьшается в направлении S(t) движения жидкости.

Заметим, что производная dP/dS (по направлению S) совпадает с производной dP/dn (по нормали к сечению w(S)), поэтому dP/dS=dP/dn=grad P - градиент давления Р.

Поэтому закон Дарси (1.15) можно записать в векторной форме

` , (1.16)

где grad P - величина векторная.

В случае нестационарной фильтрации, когда Н=Н(S,t), выражения (1.14) и (1.15) записываются в частных производных:

и (1.17)

здесь ¶Н/¶S и ¶Р/¶S принято называть градиентом напора и градиентом давления.

Определим размерность коэф. проницаемости k.

Из формулы (1.13), используя физическую систему единиц, получаем:

В технической системе единиц и в системе СИ [К] = М².

В смешанной системе единиц, которая применяется в нефтепромысловой практике, проницаемость измеряется в единицах - дарси. Для этого необходимо принимать в расчетных формулах: [Q] = cм³/с, [m] = cпз; [P]= кГ/см³; [ ]=см; [w]=см²; тогда [k]=дарси.

За единицу проницаемости 1 дарси(Д) принимают проницаемость такой пористой среды, при фильтрации через образец которой площадью поперечного сечения 1 см², длиной 1 см при перепаде давления 1 кг/см³ расход жидкости вязкостью 1 спз составляет 1 см³/с.

Из закона Дарси (1.12) находим, что:

К = 1 дарси = 1,02*10^-12см² = 1,02*10^-12м²

3. Нарушение линейного закона фильтрации;

пределы применимости закона Дарси.

После опубликования результатов исследований Дарси обнаружилось, что в ряде случаев при фильтрации жидкостей наблюдаются отклонения от линейного закона фильтрации. Проверке и исследованию пределов применимости закона Дарси было посвящено значительное число работ. В результате этих исследований были установлены две основные причины отклонения от линейного закона фильтрации:

1) отклонения, связанные с проявлением инерционных сил при высоких скоростях фильтрации (верхняя граница применимости закона Дарси).

2) отклонения, связанные с проявлением неньютоновских реологических свойств жидкости при достаточно малых скоростях фильтрации (нижняя граница применимости закона Дарси).

Рассмотрим каждый из этих случаев:

1. Верхняя граница применимости закона Дарси.

Наиболее полно изучены отклонения от закона Дарси, вызванные проявлением инерционных сил при повышенных скоростях фильтрации. Критерием справедливости закона Дарси служит число Рейнольдса

, (1.18)

где u - скорость фильтрации жидкости;

r - плотность жидкостей;

m - коэффициент абсолютной вязкости жидкости;

- характерный линейный размер пористой среды, который разные авторы определяют по-разному.

Если число Рейнольдса, определенное по формуле (1.18) не превосходит некоторого критического значения R_{е кр}, то закон Дарси сохраняется, т.е. линейная зависимость между расходом и потерей напора соблюдается. Целью всех экспериментов было установление этого критерия. Экспериментальные исследования были направлены на получение универсальной зависимости (по аналогии с трубной гидравликой) коэффициента гидравлического сопротивления l от числа Рейнольдса - R_е. Однако вследствие различной структуры и состава пористых сред установить такую универсальную зависимость не удается.

Первая количественная оценка верхней границы применимости закона Дарси была дана акад. Н.Н Павловским, который опираясь на экспериментальные результаты Слихтера и полагая характерный размер a=d_эф, получил формулу для числа R_е

R_е = (1.19)