Нормальное распределение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): f(x) =

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): f(x) = F’(x).

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: .

Нормальным называют распределение вероятностей случайной величины, которое описывается плотностью . Вероятностный смысл параметров a и σ таков: a есть математическое ожидание, σ – среднее квалратическое отклонение нормального распределения.

М(Х) = а; D(X) = σ.

Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами a и σ (σ>0).

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами a=0 и σ=1.

Функция F(X) общего нормального распределения

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Нормальная кривая симметрична относительно прямой x=a, имеет максимум в точке x=a, равный и две точки перегиба x=a + σ с ординатой .

Изменение величины параметра a (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а возрастает, и влево, если а убывает.

С возрастанием σ максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимает к оси Ох; при убывании σ нормальная кривая становится «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Оу.

Правило трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова): если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.