Множеством называют совокупность (класс, собрание, ассоциацию) различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое, объединенных по некоторому общему признаку.
Мощность множества равна количеству элементов этого множества.
Множества можно задавать двумя способами:
1. Перечислением элементов
А = {2, 4, 6, 8…}
В = {«,, , ®, ¯}
2. Заданием общих свойств элементов
{x∈C | 0 < x ≤ 7} – множество {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
{x | x – чётное} – множество чётных чисел;
{x | x2 - 1=0} – множество {-1, 1}
3. Формальным законом построения элементов множества
Периодическая система элементов Менделеева
4. Графически
Операции над множествами
Рассмотрим операции над множествами в порядке убывания приоритета. Пересечением (произведением) двух множеств называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно. Обозначение: С = АìüВ |
| ||||
Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (или тому и другому вместе). Обозначение: С = АîþВ |
| ||||
Разностью множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Обозначение: С = А ½ В или С = А \ В |
| ||||
Дополнением множества А до универсального множества U называется множество С, равное разности U½A. Обозначение: С = U½А или С = |
| ||||
Симметрической разностью двух множеств А и В называется множество С = Аîþ В | Аìü В. Обозначение: С = А D В |
|
Формула включений и исключений
для двух множеств А и В: n(АîþВ)= n(А) + n(В) - n(А∩В).
для трех множеств А, В и С:
n(АîþВîþС) = n(А) + n(В) + n(С) - n(А∩В) - n(А∩С) - n(В∩С) + n(А∩В∩С)
где n(X) – количество элементов множества X, т.е. его мощность.
1. Задайте множество А перечислением его элементов:
0)A={xÎR| (x2–6x+5)×(x2–x–12)=0} | 1)A={xÎR |(x2–5x+6)×(x2+x–20)=0} |
2)A={xÎR| (x2 –5x +4)×(x2–x–6)=0} | 3)A={xÎR|(x2+4x–5)×(x2–7x+12)=0} |
4)A={xÎR| (x2+3x–4)×(x2+x–12)=0} | 5)A={xÎR |(x2–5x–6)×(x2–x–6)=0} |
6)A={xÎR |(x2 +x–2)×(x2–7x+6)=0} | 7)A={xÎR|(x2–3x–4)×(x2–9x+20)=0} |
8)A={xÎR |(x2–3x+2)×(x2–4x–5)=0} | 9)A={xÎR |(x2–x–2)×(x2–x–20)=0} |
2. Заданы множества: А = {1, 3, 9, 10, 8}, B = {5, 3, 11, 4, 8} и
C = {1, 4, 8, 9, 10}. Найдите элементы множеств Д и Е:
0)Д = АîþВìüС; Е = (А D В) | С; | 1)Д = (АîþС) | (ВìüС); Е = А| ВìüС; |
2)Д = АîþВîþС; Е = АìüС D В; | 3)Д = (АîþС)ìüВ; Е = А DВîþС; |
4)Д = (АîþС) | В; Е = (В D С) | А; | 5)Д = АìüВìüС; Е = С D В | А; |
6)Д = Аîþ(В D С); Е = А | В | С; | 7)Д = (ВîþС) | (АìüС); Е = АîþВ | С; |
8)Д = (АîþВ)ìüС; Е = А D В | С; | 9)Д = (АîþВ) D С; Е = АìüВ | С; |
3. Укажите штриховкой множествa Aìü B и Aîþ B:
|
|
0)А={(x, y) | x2 + y2 £ 1}; B={(x, y) | | x + 2y | < 3} | 1)А={(x, y) |x2 + y2 ³ 4}; B={(x, y)| | 4x - y | £ 2}; |
2)А={(x, y) | x2 + y2 = 9}; B={(x, y) | | 4y + x| > 1}; | 3)А={(x, y) | x2 + y2 < 25}; B={(x, y) | | 2x + 2y| >5}; |
4)А={(x, y) | x2 + y2 ³ 4}; B={(x, y) | | 3x + y| < 6}; | 5)А={(x, y) | x2 + y2 £ 16}; B={(x, y) | | x + 3 | ³1}; |
6)А={(x, y) | x2 + y2 < 36}; B={(x, y) | | x + y | ³ 2}; | 7)А={(x, y) | x2 + y2 > 9}; B={(x, y) | | 2x - y | £ 1}; |
8)А={(x, y) | x2 + y2 > 16}; B={(x, y) | | x - 3y| > 5}; | 9)А ={(x, y) | x2 + y2 £ 36}; B={(x, y) | | x + 4y| <8}; |
4. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна множества А, В и С, если все множества имеют общие точки:
0) а)U½ ; б) ìü B½C; | 1) а)CîþА½ ; б)(А½В)îþC; |
2) а) (A D В)½C; б) ìüС; | 3) а)АìüВ½С; б)AìüВîþС½А; |
4) а) ½С; б)(В½А)ìüC; | 5) а) ìü ½С; б) ½С; |
6) а)С½АîþВ; б) ìü (В D С); | 7) а)U½ ; б)CìüА½ ; |
8) а)A½ (B D C); б)С½АìüВ; | 9) а) (АîþВ)ìü(В D С); б)AîþВ½C; |
5. Вычислите, используя формулу включений и исключений:
0) В классе 25 учащихся, 10 из них играют в волейбол, 12 играют в футбол, а 5 занимаются и тем и другим. Есть ли в классе ученики, равнодушные к волейболу и к футболу?
1) В поход ходили 80% учеников класса, а на экскурсии было 60% класса, причем каждый был в походе или на экскурсии. Сколько процентов класса были и там, и там?
2) Из 23 учащихся класса 13 посещают математический кружок, 8 – физический, 11 – не посещают кружки. Сколько учеников посещают и математический и физический кружки?
3) Художник за месяц работы написал 34 картины. На 15 из них есть лес, на 25 – река, а на 13 – и то, и другое, на остальных картинах – не пойми что. Сколько картин изображают не пойми что?
4) На зачете по геометрии были предложены две задачи: по планиметрии и стереометрии. Из 22 учеников задачу по планиметрии решили - 17, а по стереометрии – 14 человек. При этом задачи по планиметрии и стереометрии решили 16 человек. Существуют ли ученики, не решившие ни одной задачи?
5) В итоговом отчете по смотру худ. самодеятельности: в смотре приняли участие 22 студента 1 курса: из них 13 - танцевали, 8 – пели, некоторые и танцевали и пели. Почему отчет не приняли?
6) В группе детсада 26 детей, 12 из них любят шоколадные конфеты, 9 - любят шоколадные конфеты и мармелад. Сколько детей любят только мармелад?
7) Сколько мальчиков в классе, если баскетболом занимаются 8 человек, футболом – 6, баскетболом и футболом – 5, а 3 ничем не занимаются?
8) В цирк ходили 70% учеников класса, а 30% класса были в цирке и в театре. Сколько учеников ходило в театр, в процентах?
9) Сколько девочек в классе, если вязанием занимаются 11 человек, шитьем – 8, вязанием и шитьем – 10, а 5- не занимаются ничем?
6. Вычислите, используя формулу включений и исключений:
0) За время отпуска 12 дней шел дождь, 8 дней дул сильный ветер, а 4 дня было холодно. Сколько дней была плохая погода, если: дождливых и ветреных дней было 5; дождливых и холодных – 3 дня; ветреных и холодных – 2 дня; дождливых, ветреных и холодных – 1 день.
1) На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 920 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии — 700, а по стереометрии — 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии — 500, по планиметрии и стереометрии — 400. Ни одной задачи не решили 70 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, решившие все задачи?
2) На олимпийских играх наши спортсмены завоевали 96 медалей, из них 65 золотых и бронзовых, а золотых и серебряных 61. Сколько было золотых, серебряных и бронзовых медалей в отдельности?
3) Среди 100 деталей прошли обработку на 1-м станке 42 штуки, на 2-м - 30 штук, а на 3-м - 28. Причем на 1-ом и 2-ом станках обработано 5 деталей, на 1-ом и 3-ем - 10 деталей, на 2-ом и 3-ем - 8 деталей, на всех трех станках обработано 3 детали. Сколько деталей обработано на первом станке и сколько деталей не обработано ни на одном из станков?
|
|
4) Из 35 учащихся класса 12 посещают математический кружок, 9 – физический, 10 – литературный. Из них 5 посещают математический и физический, 4 – математический и литературный, 3 – физический и литературный. 7 - не посещают кружки. Сколько учеников посещают все кружки?
5) В первом классе читать умеют 12 учеников, считать – 8, писать – 9; читать и писать – 4, читать и считать – 5, писать и считать – 3; читать, писать и считать – 2; 6 учеников до сих пор ничему не научились. Сколько учеников в классе?
6) В классе 25 учащихся, 7 из них занимаются баскетболом, 8 волейболом, 6 футболом. Причем 5 занимаются баскетболом и волейболом, 6 баскетболом и футболом, 3 волейболом и футболом, 4 занимаются тремя этими видами спорта. Есть ли в классе ученики, равнодушные и ко всем трем видам спорта?
7) В отчете об обследовании студентов сообщалось, что количество студентов, изучающих немецкий, французский и английский языки, таково: все три языка изучают 5 человек, немецкий и английский - 10, французский и английский - 8, немецкий и французский - 20, английский язык - 30 человек, французский - 50, немецкий - 23. Инспектор, представивший этот отчет, был уволен. Почему?
8) Фирма, заказавшая исследование рынка кондитерских изделий, получила следующий отчет. Из 1000 опрошенных 510 нравится шоколад, 490 – конфеты и 427 – леденцы. Из них: 189 – нравится шоколад и конфеты, 140 – шоколад и леденцы, 105 – конфеты и леденцы, 80 – шоколад, леденцы и конфеты. Покажите, что в этой информации есть ошибки.
9) По итогам сессии из 25 студентов группы на «отлично» сдали: информатику - 7 человек, физику – 5 человек, историю – 9 человек. 6 получили «отлично» по истории и физике, 6 получили «отлично» по информатике и истории, 5 получили «отлично» по трем предметам, 15 не получили ни одной пятерки. Сколько учеников имеют отличные оценки по информатике и по физике?
|
|