При подключении цепи rLC к источнику постоянного напряжения (рис. 13.18) дифференциальное уравнение для напряжения на емкости будет отличаться от уравнения (13.41) тем, что в правой
части этого уравнения в рассматриваемом случае будет не нуль, a :
Так как в рассматриваемом случае принужденная составляющая напряжения на емкости , а свободная составляющая, как и в предыдущем случае, определяется выражением (13.43), то общее решение уравнения (13.60) будет иметь вид
· (13.61)
Подставив сюда начальное значение напряжения на емкости ис(0)=0, при t = 0 получим
A.+A2 = -E. (13.62)
Взяв производную от выражения (13.61) и использовав второе начальное условие i (0)=0, при t=0 получим второе уравнение для определения постоянных интегрирования
р1А1+р2А2=0. (13.63)
Из системы уравнений (13.62) и (13.63) найдем:
Подставив это в формулу (13.61), получим
При.этом ток в цепи и напряжение на индуктивности будут изменяться по законам:
Характер переходного процесса в рассматриваемой цепи, так же как и в предыдущем случае, будет зависеть от вида корней характеристического уравнения и может быть апериодическим (рис. 13.19) либо колебательным (рис. 13.20). В последнем случае
|
|
напряжение на емкости может достигать величины, равной почти удвоенному значению напряжения источника, подключаемого к цепи.
13.4.3. Подключение цепи rLC
к источнику синусоидального напряжения
Если к цепи rLC (см. рис. 13.18) вместо источника постоянного напряжения Е подключить источник синусоидального напряжения е=Ет sin(ω t +ψ), то дифференциальное уравнение цепи (13.60) будет иметь вид
Принужденная составляющая решения этого уравнения равна напряжению на емкости в установившемся режиме:
Ограничившись рассмотрением случая колебательного характера переходных процессов, для свободной составляющей в соответствии с выражением (13.55) можем записать
,
где А и θ — постоянные интегрирования.
При этом общее решение уравнения (13.67) будет иметь вид
. (13.68)
Ток в цепи
Для высокодобротного контура, настроенного на частоту источника подключаемого к контуру напряжения, можно считать, что , и . При этом, пренебрегая первым слагаемым в квалоатных скобках в выражении для тока, получим
Считая, что начальные условия в цепи являются нулевыми, из выражений ( 13.68) и (13.69) получим два уравнения для определения постоянных интегрирования:
из которых следует, что и
Подставив это в формулы (13.68) и (13.69),при получим:
где Iт = ωСUСт.
График напряжения на емкости для рассматриваемого случая, когда , получившего название изохронизма, показан на
рис. 13.21. Амплитуда напряжения на емкости нарастает по закону , асимптотически приближаясь к значению, равному амплитуде этого напряжения в установившемся режиме. Аналогичным образом изменяется и амплитуда тока в цепи. Длительность переходного процесса определяется коэффициентом затухания б. Чем больше б, тем быстрее заканчивается переходный процесс. Так как
|
|
то чем больше добротность контура Q, тем меньше δ, а следовательно, тем больше длительность переходного процесса в колебательном контуре, а из обратно пропорциональной зависимости между шириной полосы пропускания колебательного контура и его добротностью следует, что длительность переходного процесса в контуре обратно пропорциональна ширине его полосы пропускания.
В случае если частота ω источника напряжения не точно совпадает с частотой свободных колебаний в контуре , напряжение на емкости и ток в цепи будут представлять собой суммы двух колебаний с разными частотами, амплитуда одного из которых убывает по экспоненциальному закону. При этом возникают биения, частота которых равна разности частот ω и (рис. 13.22).
13.5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ