Теория Баклея - Леверетта

В случае одномерного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей в условиях, когда можно пренебречь капиллярным давлением, а также влиянием силы тяжести, процесс вытеснения допускает простое математическое описание.

Для обоих случаев одномерного потока (прямолинейно–параллельного и плоскорадиального) это приводит к классической в теории вытеснения модели Баклея—Леверетта.

Рассмотрим пласт толщиной h и длиной L Рис. 3.5. Слева, за границей нефтяного пласта, находится законтурная вода. Из пласта происходит отбор нефти с постоянным расходом Q_o. Вода и нефть считается несжимаемыми. В законтурной области водонасыщенность равна единице, а в нефтяном пласте додонасыщенность равна остаточной водонасыщенности s_во. Необходимо рассчитать распределение водонасыщенности с различные моменты времени.

Рис. 3.5. Схема пласта и начальное распределение водонасыщенности

Эта задача иписывается уравнениями неразрывности:

(3.22)

И обобщенным законом Дарси:

.

(3.23)

Сложим уравнения неразрывности. Сумма насыщенностей равна единице, поэтому:

.

(3.24)

При интегрировании последнего уравнения учтем, что жидкости несжимаемые, поэтому расход отбора нефти равен расходу закачки воды. При плоско параллельном движении будут равны и скорости. Обозначим скорость внедрения воды через u_o = Q_o/(B h).

Тогда:

.

(3.25)

Подставим скорости фильтрации, найденные из обобщенного закона Дарси в последнее уравнение:

.

(3.26)

Найдем из последнего уравнения градиент давления и подставим его в обобщенного закона Дарси для воды:

.

(3.27)

Здесь через f(s_в) обозначена функция Баклея - Леверетта

.

(3.28)

Функция Баклея—Леверетта определяет полноту вытеснения и характер распределения насыщенности по пласту. Задачи повышения нефте – и газоконденсатоотдачи в значительной степени сворятся к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид функции Баклея – Леверетта в направлении увеличения полноты вытеснения.

Типичные графики функции Баклея – Леверетта и ее производной f'(s_в) изображены на рис. 3.6. С ростом насыщенности f(s_в) монотонно возрастает от 0 до 1. Характерной особенностью графика f(s_в) является наличие точки перегиба, участков вогнутости и выпуклости, где вторая производная f ^''(s_в) соответственно больше и меньше нуля. Эта особенность в большой степени определяет специфику фильтрационных задач вытеснения в рамках модели Баклея—Леверетта.

Рис. 3.6. Типичные графики функции Баклея - Леверетта и ее производной

Для нахождения распределения водонасыщенности по пласту подставим скорость фильтрации воды (3.26) в уравнение неразрывности для воды:

.

(3.29)

Считая, что водонасыщенность зависит от координаты x, получим:

.

(3.30)

где f '(sв) – производная от функции Баклея – Леверетта по водонасыщенности.

Решение этого уравнения первого порядка в частных производных имеет вид:

.

(3.31)

Это решение математически справедливо рис. 3.7, но физически выполняется не для всех значений насыщенности. Из рисунка видно, что в каждой точке пласта будут три значения насыщенности, что абсурдно.

Рис. 3.7. Распределение водонасыщенности по длине пласта

Физической особенностью модели двухфазного вытеснения Бакалея - Леверетта является зависимость скорости фильтрации воды от значения насыщенности. Действительно, из формулы (3.27) и графика зависимости функции Бакалея – Леверетта от водонасыщенности следует рисунок 3.7, что с ростом водонасыщенности скорость фильтрации воды сначала растёт, а потом уменьшается.