Это будут следующие миноры второго порядка:
Рангом матрицы А называют число, равное наивысшему порядку ее минора, не равного нулю
Обозначают ранг матрицы: rang А; r(А); r.
Для квадратной матрицы разность между ее порядком и рангом называют дефектом матрицы.
Минор порядка r (r = rang А) называется базисным минором.
Справедливы следующие утверждения (доказать самостоятельно):
1.
2. r=0, тогда и только тогда, когда все аij = 0
3. r=п для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.
4. r < п для квадратной матрицы А, если ее определитель Δ = О
Теорема о базисном миноре:
Если ранг матрицы равен r, то любая строка матрицы есть линейная комбинация строк, в которых расположен базисный минор.
Ранг матрицы удобнее всего определять при помощи элементарных преобразований над ее строками и столбцами.
Элементарными преобразованиями называют:
- перестановку между собой строк;
- умножение всех элементов любой строки на число, отличное от нуля;
- прибавление к элементам любой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на число.
|
|
Матрицы, полученные одна из другой при помощи элементарных преобразований (как над строками, так и над столбцами), называются эквивалентными. Эти матрицы имеют одинаковый ранг и порядок.
Если матрицы А и В эквивалентны, то записывают это так:
А~В
Для вычисления ранга матрицы можно пользоваться следующей теоремой:
если определитель порядка r матрицы А не равен нулю, а все определители порядка (r+1), включающие его в качестве минора, равны нулю, то ранг матрицы А равен r.
Пример 12. Найти ранг матриц:
a) ; б) .