Функциональный ряд
(1)
сходится в области , если при любом соответствующий этому значению числовой ряд является сходящимся.
Пусть ряд (1) сходится в области , тогда функция , значение которой в каждой точке равно сумме соответствующего числового ряда, называется суммой ряда (1) в области .
Если ряд (1) сходится в , то для любой фиксированной точки и для любого можно указать такой номер , начиная с которого для всех выполняется неравенство
.
Если обозначить – остаток ряда, то неравенство принимает вид при . Запись подчеркивает, что номер , вообще говоря, не является одинаковым для всех точек области сходимости ряда.
Определение. Если для любого можно указать такой номер , что при неравенство выполняется сразу для всех точек , то ряд (1) называется равномерно сходящимся в области .
Если члены ряда (1) являются аналитическими функциями в односвязной области и ряд сходится в этой области равномерно, то сумма ряда также является функцией, аналитической в области (теорема Вейерштрасса). В этом случае ряд можно дифференцировать почленно сколько угодно раз.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда . Найти сумму этого ряда.
Решение. Формула для суммы членов геометрической прогрессии
(2)
справедлива при любом комплексном . Так как , если и , если , то получаем
Но сумма (2) является частичной суммой заданного ряда. Значит, заданный ряд
(3)
сходится внутри круга и сумма этого ряда равна
.
Вне единичного круга (при ) этот ряд расходится. На окружности ряд (3) также расходится, так как – не выполнено необходимое условие сходимости.
Заметим, что в круге , ряд (3) сходится равномерно. ☻
Ряд вида
, (4)
где – комплексные постоянные, называется степенным рядом (с центром в точке ).
Основной теоремой теории степенных рядов является
Теорема Абеля. Если степенной ряд (4) сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно во всех точках , для которых . В замкнутой области ряд сходится равномерно.
Геометрически: если ряд (4) сходится в точке , то он сходится абсолютно в круге с центром в точке радиуса , причем в круге этот ряд сходится равномерно. Если же ряд расходится в некоторой точке , то он расходится и при любых , для которых .
Область сходимости степенного ряда (4) есть круг с центром в точке , радиус которого определяется по формуле Коши-Адамара
(5)
или по формуле
(6)
Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .
Решение. Здесь . По формуле (5) находим радиус сходимости данного ряда:
.
Здесь учтено, что .
Можно получить тот же результат с помощью формулы (6):
.
Значит, область сходимости данного ряда – круг . ☻
Задача 1. Показать, что областью сходимости ряда является круг .
Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда .
Сходится ли этот ряд в точке ?
Решение. Здесь , значит, .
Применим формулу (5) для определения радиуса сходимости:
.
Значит, ряд сходится в круге . Так как точка лежит вне этого круга, то ряд в точке расходится. ☻
Задача 2. Показать, что область сходимости ряда – вся комплексная плоскость.