С конической поверхностью

Предварительные рассуждения

В отличии от однообразных сфер раз-ных радиусов многообразие конических по-верхностей определяется видом их разно- образных направляющих линий. Поэтому различаются конические поверхности вра-щения, эллиптические, параболические, об-щего вида и т.д. Их конструктивно объе-диняет пересечение всех образующих в ве-ршине. Это обстоятельство исключает воз-можность рационального применения таких вспомогательных секущих плоскостей, ко-торые пересекали бы поверхность конуса по её образующим, а сферу по окружно-стям в положениях линий уровня. Поэтому наиболее просто решаемые задачи должны содержать в условии сферу и поверхность конуса вращения. Тогда вспомогательные секущие плоскости можно расположить так, чтобы они пересекали обе поверхности по их параллелям, которые, пересекаясь, оп-ределят точки искомой линии пересечения этих поверхностей.

Если же со сферой пересекается кони-ческая поверхность общего вида, то парал-лели сферы, параллельные основанию ко-нуса, следует заключать во вспомогатель-ные «совершинные» с ним конические по-верхности. Линии пересечения поверхнос-тей этих конусов пересекают выделенные параллели сферы в точках искомой линии её пересечения с данной конической пове-рхностью общего вида (см. рис.16.51)

Пример 16.10. Построить двухкартин-ный комплексный чертеж пересекающихся сферы S и соосной с ней поверхности конуса вращения Ф (рис.16.48).

Решение: Так как соосные поверхности

вращения пересекаются по их параллелям, то приведенное графическое решение этой задачи не требует комментариев.

Пример 16.11. Построить двухкартин-ный комплексный чертёж системы пере-секающихся поверхностей шара S и кону-са вращения Ф с фронтальной плоскос-тью симметрии w (рис. 16.49).

Решение: 1. Отметить точки 1₂, 2₂ пе-ресечения и 3₂ касания очерковых образую-щих фронтальной проекции обеих поверх-ностей и построить их горизонтальные про-екции 1₁, 2₁ и 3₁ на горизонтальном следе w₁ плоскости симметрии w;

2. Рассечь данные поверхности неско-лькими положениями s¹ … sⁿ вспомогате-льной горизонтальной плоскостью s;

3. Последовательно построить горизон-тальные проекции компланарных паралле-лей обеих поверхностей и отметить точки их пересечения, которые соединить плав-ной кривой m₁ с учетом её видимости;

4.По m₁ построить m _2.

Рис.16.50. Графическое решение позиционной задачи на пересечение сферы и поверхности конуса вращения с общей горизонтально- проецирующей плоскостью симметрии

Рис.16.51. Графическое решение

позиционной задачи на пересечение

сферы с конической поверхностью

произвольного вида

Пример 16.12. Построить двухкартин-ный комплексный чертёж системы пере-секающихся поверхностей шара S и кону-са вращения Ф с горизонтально-проеци-рующей плоскостью симметрии w (рис.16. 50).

Решение: 1. Заменить плоскость П₂ на плоскость П₄ , параллельную плоскости w и построить на П₄ вспомогательные проек-ции S₄ и Ф₄ поверхностей S и Ф;

2. Построить проекции m₁ и m₄ линии m пересечения поверхностей S и Ф по ал-горитму решения примера 16.11;

3. По m₁ построить m₂ на основе моде-лирования отношения принадлежности её точек к фронтальным проекциям соответ-ствующих параллелей сферы.

Пример 16.13. Построить двухкар-тинный комплексный чертёж системы пересекающихся поверхностей шара S и конуса Ф произвольного вида (рис. 16.51).

Решение: 1.Принять эква-тор а (а₁, а₂) сферы S за на-правляющую линию вспомога-тельной конической поверхно-сти D, вершина которой сов-падает с вершиной S конуса Ф;

2. Из вершины S конуса D спроецировать экватор а сфе-ры S на плоскость основания b (b₁, b₂) конуса Ф и постро-ить её проекцию а_1¢¢ как осно-вание этого конуса;

3. Отметить точки 1₁,2₁,3₁, 4₁ пересечения а₁¢ с b₁, сое-динить их с S₁ и отметить на а₁ соответствующие точки исчезновения видимости гори-зонтальной проекции m₁ иско-мой линии m пересечения данных поверхностей Ф и S;

4.По построенным точкам исчезновения видимости гори-зонтальной проекции искомой линии m построить на а₂ их фронтальные проекции;

5.Для построения доста-точного количества точек го-ризонтальной проекции m₁ ис-комой линии m необходимо

достаточное число раз произ-вести те геометро-графичес-кие операции, которые описа-ны в п.п. 2 - 4;

6. Горизонтальные проекции построен-ных точек соединить гладкими кривыми линиями m₁ с учетом их видимости между точками её исчезновения;

7. По точкам пересечения горизон-тальной проекции с₁ главного меридиана с сферы S с m₁ построить на с₂ точки исчез-новения видимости фронтальной проекции m₂ искомой линии m;

8. По горизонтальным проекциям точек линии m построить их фронтальные проек-ции на основе графического моделирова-ния отношения их принадлежности к соот-ветствующим параллелям сферы или обра-зующим вспомогательных конусов типа D;

9. Соединить построенные фронталь-ные проекции точек линии m гладкими кри-выми линиями с учетом их видимости меж-ду точками её исчезновения и получить фронтальную проекцию m₂ искомой линии m пересечения поверхностей шара S и ко-нуса общего вида Ф.

Совершенно очевидно, что техно-логия графического решения примера 16.13 способом вспомогательных секу-щих конических поверхностей справед-лива для решения позиционных задач на построение линии пересечения с ко-ническими поверхностями любого вида любых поверхностей вращения, оси ко-торых перпендикулярны к основаниям этих конусов.

16.4.13. Пересечение поверхностей Каталана с цилиндрической поверхностью (рис.16. 52 – 16. 54)

Предварительные соображения

Пересекающиеся по условию пове-рхности цилиндра, цилиндроида, коно-ида и гиперболического параболоида являются прямолинейчатыми, но толь-ко цилиндрическая может занимать ли-бо ортогонально, либо косоугольно-проецирующее положение. В первом случае её вырожденная в линию про-екция, а во втором – её основание об-ладает собирательным свойством, бла-годаря которому информация об одной из проекций искомой линии пересе-чения содержится в исходном условии, а вторая строится на основе графичес-кого моделирования отношения её при-надлежности к поверхности Каталана.

Пример 16.14. Построить двухкартин-

ный комплексный чертёж пересекающихся поверхностей цилиндра Ф общего положе- ния и цилиндроида S (рис.16.52).

Решение: 1. Рассечь поверхность Ф по линии m₁^A горизонтальной плоскостью a, проходящей через плоскую направляющую b поверхности S;

Рис. 16.52. Графическое решение позиционной задачи на пересечение поверхностей цилиндра Ф и цилиндроида S

Рис.16.53. Графическое решение позиционной задачи на пересечение поверхностей цилиндра Ф и коноида S

2. Спроецировать точки 1, …6 концов образующихповерхности S, принадлежа-щих её направляющей а по направлению образующих поверхности Ф на плоскость a и пос-троить её проекции а₂¢ и а₁¢;

3. Соединить начала 1₁...6₁ образующих l пове-рхности S с косоуголь-ными проекциями 1₁¢…6₁¢

на a их концов на направ-ляющей а;

4. Отметить точки пе-ресечения косоугольных проекций образующих по-верхности S с сечением m₁^A поверхности Ф;

5. Из отмеченных то-чек обратным проециро-ванием по направлению образующих цилиндра

построить горизонталь-ные проекции точек искомой линии пересе-чения m данных поверхностей Ф и S;

6. По m₁ построить m₂ линии m на основе графического моделирования отно-шения принадлежности её точек к образую-щим как поверхности Ф, так и S.

Пример 16.15. Построить двухкартин-ный комплексный чертёж пересекающихся поверхностей цилиндра Ф и коноида S

[ а, b ,( l || b ^ П ₁) ] (рис. 16.53).

Решение: 1. Спроецировать прямоли-нейную направляющую а поверхности S на П₁ в ряд а₁¢ косоугольных проекций её коллинейных точек по направлению обра-зующих поверхности Ф;

2. Соединить горизонтальные проекции

начал образующих поверхности S на её направляющей b с горизонтальными проек-циями их концов на а₁¢ и получить тем самым их косоугольные проекции на плос-кость основания m₁^A цилиндра Ф;

3. Отметить точки пересечения косо-угольных проекций образующих поверхно-сти S с фигурой m₁^Ф основания поверхно-сти Ф как косоугольные проекции на П₁ то-чек искомой линии m;

4. Обратным проецированием получен-ных на m₁^Ф точек на соответствующие про-екции образующих поверхности S получить горизонтальные проекции точек искомой линии m пересечения поверхностей Ф и S;

5. Соединить горизонтальные проекции точек линии m и получить её горизонталь-ную проекцию m₁ с учетом её видимости;

6. По m₁ построить m₂ моделируя при-надлежность её точек к поверхности S.

Пример 16.16. Построить двухкартин-ный комплексный чертёж пересекающихся поверхностей цилиндра Ф и гиперболи-ческого параболоида S (рис.16.54.)

Рис.16.54. Графическое решение позиционной задачи на пересечение поверхности цилиндра Ф и гиперболического параболоида S

Графическая технология решения этой задачи полностью соответствует техноло-гии решений двух предыдущих задач и поэ-тому не требует дополнительных поясне-ний.

16.4.14. Пересечение поверхностей Каталана с конической поверхностью (рис.16.55)

Предварительные соображения

У прямолинейчатых поверхностей Каталана смежные образующие при-надлежат параллельным плоскостям и попарно скрещиваются, а у конической поверхности они пересекаются в вер-шине. Позиционно точки линии их пере-сечения являются точками встречи об-разующих одной поверхности с другой и наоборот, но технологически целесо-образно строить искомую линию по точ-кам встречи образующих поверхностей Каталана с конической поверхностью. Практически каждая из этих образу-ющих в паре с вершиной конуса задаёт вспомогательную секущую плоскость, которая пересекает поверхность конуса по двум её образующим, пересекаю-щим образующую поверхности Ката-лана в точках её встречи с конической поверхностью (см. рис.16. 22, 16. 23).

Рис.16.55. Графическое решение позиционной задачи на пересечение поверхностей конуса Ф и гиперболического параболоида S

Поэтому решение данной задачи сво-дится к построению необходимого и достаточного количество точек встре-чи образующих данной поверхности Ка-талана с данной конической поверхно-стью.

Пример 16.17. Построить двухкартин-ный комплексный чертёж пересекающихся

поверхностей конуса Ф и ги-перболического параболоида S (рис.16.55).

Анализ условия:

Так как по-верхность S имеет два семе-йства попарно скрещивающих-ся образующих, то следы s₁¹, s₁² … s ₁ⁿ вспомо-гательных секу-щих плоскостей

s, на плоскос-

ти основания

m₁^Ф поверхнос-ти Ф образуют 2 пучка прямых 2-го порядка. Эти пучки огибаются ветвями гипер-болы, асимпто-тами которой яв-ляются горизонтальные следы k₁¹ и k₁² плоскостей параллелизма двух семейств образующих поверхности S.

Позиционно эти асимптоты являются геометрическими местами следов прямых, проходящих через вершину S конуса Ф и параллельных образующим каждого семей-ства поверхности S. Эти следы в парах со следами самих образующих определяют соответствующие следы вспомогательных секущих плоскостей s, которые пересекают

основание m₁^Ф конуса Ф в точках-началах тех его образующих, которые пересекают соответственные образующие поверхности

S в точках искомой линии их пересечения. Этот анализ определяет порядок решения.

Решение: 1. Построить горизонтальные следы 1₁, 2₁,3₁ …образующих обеих семей-ств поверхности S;

2. Построить горизонтальные следы 1¢₁ 0¢, … прямых, проходящих через вершину S поверхности Ф и параллельных каждой образующей каждого семейства поверхно-сти S;

3. Соединить соответственные следы типа 1₁ и 1₁¢ прямыми линиями и отметить точки их пересечения с основанием m₁^Ф по-верхности Ф;

4. Соединить полученные на m₁^Ф точки с S₁ прямыми и отметить точки их пересе-чения с соответствующими проекциям об-разующих поверхности S как точки гори-зонтальной проекции m₁ искомой линии m пересечения данных поверхностей Ф и S;

5. Фронтальную проекцию m₂ искомой линии m следует строить на основе графи-ческого моделирования отношения принад-лежности её точек к образующим поверх-ности S.