Как указано во втором разделе метод замены переменной наиболее используемый метод, который часто применяется предварительно даже тогда, когда используется другой метод, например, интегрирование по частям или интегрирование рациональных дробей.
► Опишите метод замены переменной для неопределенного интеграла.
Применение метода подстановки в определенном интеграле базируется на следующем утверждении:
пусть задан , в котором функция непрерывна на отрезке . Введем новую переменную по формуле .
Если
1) ;
2) функции и непрерывны на отрезке ;
3) определена и непрерывна на отрезке , то
. (3.4)
Отметим, что при вычислении определенного интеграла методом подстановки следует обязательно пересчитать пределы интегрирования и, благодаря этому, в конечном результате нет необходимости возвращаться к исходной переменной, как это делается в неопределенном интеграле.
Пример 3.2. Вычислить , применив метод замены переменной.