Основные свойства неопределенного интеграла

1. (в частности, ).

2. .

3. .

Необходимо знать интегралы основных элементарных функций (табличные интегралы):

()

Для нахождения интегралов используются следующие методы.

1) Преобразование подынтегрального выражения, при помощи которого интеграл преобразуется к одному или нескольким табличным интегралам.

2) Подведение под знак дифференциала, основанное на формуле .

где .

3) Замена переменной. Если , то

4) Интегрирование по частям:

5) Интегрирование рациональных дробей вида (где , - многочлены) основано на представлении дроби в виде суммы многочлена и простейших рациональных дробей вида

Разложение рациональных дробей в сумму простых дробей осуществляется с помощью метода неопределенных коэффициентов, который будет продемонстрирован ниже, на частном примере.

Имеют место формулы

().

Интеграл можно найти, выделяя полный квадрат в знаменателе: , с последующей заменой .

Интеграл сводится к интегралу следующего вида:

6) Функции, содержащие иррациональности, интегрируются в том случае, когда интеграл от них сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью какой-либо замены переменной. Приведем несколько примеров интегрируемых иррациональных функций.

) Интегралы вида

где - рациональная функция, а , ¼, - натуральные числа. Метод интегрирования - замена , где - наименьшее общее кратное чисел , ¼, .

) Интегралы вида сводятся к табличным при помощи замены .

) Интегралы , где , и - рациональные числа. Интегралы такого вида сводятся к элементарным только при следующих соотношениях параметров , и .

Если целое, то следует использовать замену , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей , .

Пусть теперь - наименьшее общее кратное знаменателей дробей , . Если - целое, то интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены .

Если целое, то интегрирование осуществляется при помощи замены .

) Подстановки Эйлера. Они применяются к интегралам вида , где рациональная функция. Имеется три вида подстановок Эйлера.

;

где , -корни многочлена .

Тригонометрические замены. Для интегралов используется замена . Для интегралов используется замена . Для интегралов используется замена . В каждом из трех случаев получается интеграл от рациональной функции, зависящей от и .

7) Интегрирование выражений вида , где – рациональная функция от . В разных случаях используются замены , , , . Если ни одна из этих замен не позволяет получить интеграл от рациональной функции, то используется универсальная тригонометрическая подстановка . Тогда , , , и подынтегральное выражение сведется к рациональной дроби.

В задачах 4.1.а-4.1.ж. требуется вычислить неопределенные интегралы.

Задача 4.1.а. .

Решение. .

Задача 4.1.б. .

Решение.

2) .

Ответ: .

Задача 4.1.в. .

Решение. = = = = = = = = = .

Задача 4.1.г. .

Решение. Интегрируем по частям: = .

Интегралы вида находятся с помощью подстановки .

Задача 4.1.д. .

Решение. = = = = = = = .

Задача 4.1.е. .

Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простых дробей. Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

откуда

Û Û

Следовательно,

1) ;

= .

Ответ: .

Интегралы вида для нечетного можно находить при помощи подстановки .

Задача 4.1.е. .

Решение. .

Разложим подынтегральное выражение в сумму простых дробей:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества, получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными A, B, C, D:

Û Û