Дисперсионный анализ как факторный анализ

Дисперсионный анализ позволяет анализировать результаты испытаний, зависящих от различных одновременно действующих факторов, выбирать наиболее важные факторы и оценивать их влияние.

Например, при оценке работоспособности какого-либо объекта при разных условиях получены статистические данные. Задача состоит в том, чтобы выяснить, зависит ли изучаемое явление от условий, в которых проводились испытания, и если зависит, то как. Результат испытания может измениться как за счёт условий, в которых производится испытание, так и за счёт некоторого случайного воздействия.

Влияние условий испытания выражается в виде некоторого фактора, а случайное воздействие – в виде некоторой случайной величины. Вообще говоря, фактор – это тоже неизвестная случайная величина, однако, в большинстве задач рассматриваются модели с постоянным фактором.

В зависимости от числа исследуемых факторов применяется анализ – однофакторный, двухфакторный и многофакторный.

Например, пусть при однофакторном анализе имеется m групп испытаний амортизаторов автомобилей, при этом каждая группа испытывалась при определённых дорожных условиях. Предполагаем, что для i– й группы автомобилей, содержащей n_i автомобилей, любой результат испытания складывается из следующих составляющих:

μ – фактор, общий для всех групп (истинное среднее, так как при дисперсионном анализе сравнивают выборочные средние);

α_i – фактор, присущий только i – й группе испытаний (истинный эффект

i – го условия испытаний);

ε_ij – cлучайная величина (случайный эффект, который предполагается

независимым).

Тогда модель однофакторного анализа

η_ij = μ + α_i + ε_ij (62)

где

η_ij – любое наблюдение, соответствующее i – й группе;

i = 1, 2,…к,…m;

j = 1, 2,…n_i.

Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы оценить соотношение между факторами μ и α_i для определения существенности или несущественности различий между группами. Существенность различия между

i – той и k – той группами определяется сравнением чисел α_i и α_k. При этом используются различные методы проверки (представление эмпирической дисперсии как суммы квадратов случайных величин, проверка статистических гипотез и т.д.). Сложности применения дисперсионного анализа состоят в решении проблемы выбора факторов, в определении законов распределения случайных величин, в сложности решения задачи в случае, когда результаты наблюдений не являются одинаково распределёнными случайными величинами.