Дискретные подгруппы в алгебре

ДИСКРЕТНЫЕ ПОДГРУППЫ В
Определение. Аддитивная подгруппа в называется дискретной, если существует окрестность нуля , такая что , т.е. в некоторой окрестности нуля нет ни одного элемента подгруппы кроме нулевого.

Теорема. Дискретная подгруппа в свободна.
Доказательство.
Пусть - максимальная независимая (над ) система векторов из . Если , то , где . Разложим на целые и дробные части: , где , следовательно, . Рассмотрим множество - компакт.

Лемма. - конечно.
Доказательство.
Если бесконечно, то в существует сходящаяся последовательность , следовательно - последовательность Коши, т.е. . Следовательно в любой окрестности нуля будут элементы из , что противоречит дискретности . Следовательно конечно.

Таким образом, получили, что - конечно-порожденная группа (порождается элементами и ) и у нее нет элементов конечного порядка. Следовательно она свободна.

Теорема. Пусть - дискретная подгруппа в и - базис в . Тогда - линейно независимы над .
Доказательство.
Пусть эти вектора линейно зависимы, т.е. без ограничения общности можем считать, что , . Рассмотрим множество , по лемме - конечно. Для любого целого имеем, что . Этих остатков, принадлежащих , конечное число, следовательно , такое что , здесь , следовательно . Следовательно линейно зависимы над, что невозможно.