Внешнее произведение групп

Определение. Пусть заданы группы . Пусть , т.е. с операцией . Множество с этой операцией называется внешним произведением групп .

Теорема. - группа.
Доказательство.
Единичный элемент - , обратный элемент .

Рассмотрим множества .

Упражнение. Докажите, что , отображение задает изоморфизм и и - прямое произведение. Таким образом прямые и внешние произведения можно отождествлять.

Теорема (факторизация по множителям). Пусть , и пусть , тогда и .
Доказательство.
Рассмотрим отображение , если , то . Пусть , тогда и , следовательно - это гомоморфизм, причем сюръективный, т.к. . Ядро этого гомоморфизма - это , т.е. . Следовательно, и по теореме о гомоморфизме .