Теория категорий - раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими структурами, независимо от внутреннего строения структур; абстрагируется от множеств и функций к диаграммам, где объекты связаны морфизм (стрелками). Теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применение в информатике и в теоретической физике. Современное преподавание алгебраической геометрии и гомологической алгебры базируется на теории категории. Понятия теории категорий используются в языке функционального программирования Haskell.
ИсторияПонятие категория была введена в 1945 году. Своим происхождением и первичными стимулами развития теория категорий обязана алгебраической топологии. Дальнейшие исследования выявили объединяющую и унифицируя роль понятия категория и связанного с ним понятия функтора для многих разделов математики. Теоретико-категорний анализ основ теории гомологии привел к выделению в середине 50-х гг 20 в. так называемых абелевых категорий, в рамках которых оказалось возможным осуществить основные построения гомологической алгебры. В 60-е гг 20 в. определился растущий интерес к неабелевих категорий, вызванный задачами логики, общей алгебры, топологии и алгебраической геометрии. Интенсивное развитие универсальной алгебре и аксиоматическое построение теории гомотопий положили начало различным направлениям исследований: категорному изучению многообразий универсальной алгебре, теории изоморфизме прямых разложений, теории связанных функторов и теории двойственности функторов. Дальнейшее развитие обнаружил существенный взаимосвязь между этими исследованиями. Благодаря возникновению теории относительных категорий, широко использует технику связанных функторов и замкнутых категорий, была установлена двойственность между теорией гомотопий и теории универсальных алгебр, основанная на интерпретации категорних определений моноида и комоноида в соответствующих функторов. Другой способ введения дополнительных структур в категориях связан с заданием в категориях топологии и построении категории пучков над топологической категории (так наз. топосы ).
ОпределениеКатегорияКатегория состоит из класса , элементы которого называются объектами категории, и класса, элементы которого называются морфизм категории. Эти классы должны удовлетворять следующим условиям:
Примеры категорий
Все вышеперечисленные категории допускают изоморфное вложение в категорию множеств. Категории, с таким свойством, называются конкретными. Не всякая категория является конкретной, например категория, объектами которой являются все топологические пространства, а морфизм - классы гомотопных отображений. Коммутативные диаграммыСтандартным способом описания утверждений теории категорий является коммутативные диаграммы. Коммутативна диаграмма - это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками есть морфизм или функторы, причем результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм: Категория с объектами X, Y, Z и морфизм f, g. ДвойственностьДля категории можно определить двойственную категорию , в которой:
Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок.Часто двойное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры ниже). Справедлив так принцип двойственности: утверждение г истинно в теории категорий тогда и только тогда, когда в этой теории истинно двойственное утверждение г *. Многие понятия и результатов в математике оказались двойственным друг другу с точки зрения понятий теории категорий: иньективнисть и сюрьективнисть, многообразия и радикалы в алгебре и т.д. Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизмыМорфизм называется изоморфизмом, если существует такой морфизм, что и. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе. Морфизм, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмамы. Множество ендоморфизмив является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом. Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизм, называются автоморфизмом. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов по композиции. Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизмМономорфизм - это морфизм такой, что для любых из следует, что. Композиция мономорфизм является мономорфизм. Эпиморфизм - это такой морфизм, что для любых из следующего. Биморфизм - это морфизм, являющийся одновременно мономорфизм и эпиморфизмом. Любой изоморфизм является биморфизмом, но не любой биморфизм является изоморфизмом. Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями соответственно. Любой изоморфизм есть мономорфизм и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий. Инициальный и терминальный объектыИнициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории - это такой объект, с которого существует единственный морфизм в любой другой объект. Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны. Двойственным образом определяется терминальный объект - это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.
Произведение и сумма объектовПроизведение объектов A и B - это объект с морфизм и такими, что для любого объекта C с морфизм и существует единственный морфизм такой, что. Морфизм и называются проекциями. Дуально определяется прямая сумма или кодобуток A + B объектов A и B. Соответствующие морфизм и называются вложениями. Несмотря на свое название, в общем случае они могут и не быть мономорфизм. Если произведение и кодобуток существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.
|
Матричный метод решения систем линейных уравнений Вернуться в оглавление: Высшая математика |