Погрешности геодезических измерений (теория и решение задач)

Геодезическое измерение, результат измерения, методы и условия измерений. Равноточные и неравноточные измерения

Измерением называется процесс сравнения некоторой физической величины с другой одноименной величиной, принятой за единицу меры.

Единица меры – значение физической величины, принятой для количественной оценки величины того же рода.

Результат измерений – это число, равное отношению измеряемой величины единицы меры.

Различают следующие виды геодезических измерений:

1. Линейные, в результате, которых получают наклонные иррациональные расстояния между заданными точками. Для этой цели применяют ленты, рулетки, проволоки, оптические свето- и радиодальномеры.

2. Угловые, определяющие величины горизонтальных углов. Для выполнения таких измерений применяют теодолит, буссоли, эклиметры.

3. Высотные, в результате, которых получают разности высот отдельных точек. Для этой цели применяют нивелиры, теодолиты-тахеометры, барометры.

Различают два метода геодезических измерений: непосредственные и посредственные (косвенные).

Непосредственные – измерения, при которых определяемые величины получают в результате непосредственного сравнения с единицей измерения.

Косвенные – измерения, при которых определяемые величины получаются как функции других непосредственно измеренных величин.

Процесс измерения включает:

· Объект – свойства которого, например, размер характеризуют результат измерения.

· Техническое средство – получать результат в заданных единицах.

· Метод измерений – обусловлен теорией практических действий и приёмов технических средств.

· Исполнитель измерений – регистрирующее устройство.

· Внешняя среда, в которой происходит процесс измерений.

Совокупность этих элементов, взаимодействуя между собой, образуют условия измерений, которые определяют окончательный результат и его точность. Если измерения происходят в одних и тех же условиях, то их результат называется равноточным. Если хотя бы один из элементов, составляющий совокупность, меняется, то результат измерений неравноточный.

Классификация погрешностей геодезических измерений.

Средняя квадратическая погрешность.

Формулы Гаусса и Бесселя для ее вычисления

Геодезические измерения, выполняемые даже в очень хороших условиях, сопровождаются погрешностями, т.е. отклонением результата измерений L от истинного значения Х нумеруемой величины:

? = L-X

Истинное – такое значение измеряемой величины, которое идеальным образом отражало бы количественные свойства объекта. Истинное значение – это понятие гипотетическое, в реальности его достичь невозможно. Это величина, к которой можно приближаться бесконечно близко.

Точность измерений – степень приближения его результата к истинному значению. Чем ниже погрешность, тем выше точность.

Погрешности бывают следующих видов:

Абсолютная погрешность выражается разностью значения, полученного в результате измерения и истинного измерения величины. Например, истинное значение l = 100 м, однако, при измерении этой же линии получен результат 100,05 м, тогда абсолютная погрешность:

E = X_изм – X

E = 100,05 – 100 = 0,05 (м)

Чтобы получить значение достаточно произвести одно измерение. Его называют необходимым, но чаще одним измерением не ограничиваются, а повторяют не менее двух раз. Измерения, которые делают сверх необходимого, называют избыточными (добавочными), они являются весьма важным средством контроля результата измерения.

Абсолютная погрешность не даёт представления о точности полученного результата. Например, погрешность в 0,06 м может быть получена при измерении l = 100 м или l = 1000 м. Поэтому вычисляют относительную погрешность:

C = E_ср / X

C = 0,06 / 100 = 1/1667, т.е на 1667 м измеряемой величины допущена погрешность в 1 метр.

Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к истинному или измеренному значению. Выражают дробью. По инструкции линия местности должна быть измерена не грубее 1/1000.

Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называются элементарными. Погрешность обобщенная (Е)– это сумма элементарных.

Возникают:

· грубые (Q),

· систематические (O),

· случайные (?).

Грубые погрешности измерений возникают в результате грубых промахов, просчётов исполнителя, его невнимательности, незамеченных неисправностях технических средств. Грубые погрешности совершенно недопустимы и должны быть полностью исключены из результатов измерений путем проведения повторных, дополнительных измерений.

Систематические погрешности измерений – постоянная составляющая, связанная с дефектами: зрение, неисправность технических средств, температура. Систематические погрешности могут быть как одностороннего действия, так и переменного (периодические погрешности). Их стремятся по возможности учесть или исключить из результатов измерений при организации и проведении работ.

Случайные погрешности измерений неизбежно сопутствуют всем измерениям. Погрешности случайные исключить нельзя, но можно ослабить их влияние на искомый результат за счет проведения дополнительных измерений. Это самые коварные погрешности, сопутствующие всем измерениям. Они могут быть разные как по величине, так и по знаку.

E = Q + O +?

Если грубые и систематические погрешности могут быть изучены и исключены из результата измерений, то случайные могут быть учтены на основе глубокого измерения. Изучение на основе теории вероятностей.

На практике сложность заключается в том, что измерения проводятся какое-то ограниченное количество раз и поэтому для оценки точности измерений используют приближённую оценку среднего квадратического отклонения, которую называют среднеквадратической погрешностью (СКП).

Гауссом была предложена формула среднеквадратической погрешности:

?²_ср = (?²₁ +?²₂ +… +?²_n) / n,

?² = m² = (?²₁ +?²₂ +… +?²_n) / n,

? = m,

?_ср = m = √(∑?²_i / n)

Формула Гаусса применяется, когда погрешности вычислены по истинным значениям.

Формула Бесселя:

m = √(∑V²_i / (n-1))

Средняя квадратическая погрешность арифметической середины в Ön раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения

М=m/Ön

При оценке в качестве единицы меры точности используют среднеквадратическую погрешность с весом равным единице. Её называют средней квадратической погрешностью единицы веса.

µ² = P×m² – µ = m√P, m = µ / √P, т.е. средняя квадратическая погрешность любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1 (µ) и делённая на корень квадратный из веса этого результата (P).

При достаточно большом числе измерений можно записать ∑m²P=∑?²P (так как? = m):

µ = √(∑(?²×P)/n), т.е. средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным 1 равна корню квадратному из дроби, в числителе которого сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе – число неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины по формуле:

M₀ = µ / √∑P

Подставив вместо µ её значение получим:

M₀ = √(∑?²×P/n) / (√∑P) = √[(∑?²×P) / n×(∑P)]

M₀ = √[ (?₁²P₁ +?₂²P₂ +… +?_n²P_n) / n×(P₁ + P₂ + … + P_n) ] – формула Гаусса, средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма произведений квадратов погрешностей неравноточных измерений на их веса, а знаменатель – произведение количества измерений на сумму их весов.

µ = √ [∑(V²×P) / (n-1)] Это формула Бесселя для вычисления средней арифметической погрешности с измерением веса, равным 1 для ряда неравноточных измерений по их вероятнейшим погрешностям. Она справедлива для большого ряда измерений, а для ограниченного (часто на практике) содержит погрешности: m_µ = µ / [2×(n-1)].

Функции по результатам измерений и оценка их точности

В практике геодезических работ искомые величины часто получают в результате вычислений, как функцию измеренных величин. Полученные при этом величины (результаты) будут содержать погрешности, которые зависят от вида функции и от погрешности аргументов, по которым их вычисляют.

При многократном измерении одной и той же величины получим ряд аналогичных соотношений:

?U₁ = k?l₁

?U₂ = k?l₂

…………..

?U_n = k?l_n

Возведём в квадрат обе части всех равенств и сумму разделим на n:

(?U₁² +?U₂² + … +?U_n²) / n = k²×(?l₁² +?l₂² +... +?l_n²) / n;

∑?U² / n = k²×(∑?l² / n);

m = √(∑?U² / n);

m² = k² × m_l²,

где m_l – СКП дальномерного отсчёта.

m = k × m_l.

СКП функции произведения постоянной величины на аргумент равна произведению постоянной величины на СКП аргумента.

Например, дана функция вида U = l₁ + l_2. Определить СКП U, где l₁ и l₂ – независимые слагаемые со случайными погрешностями?l₁ и?l₂. Тогда сумма U будет содержать погрешность:

?U =?l₁ +?l₂.

Если каждую величину слагаемого измерить n раз, то можно представить:

?U₁ =?l₁' +?l₂' – 1-е измерение,

?U₂ =?l₁" +?l₂" – 2-е измерение,

…………………

?U_n =?l₁⁽ⁿ⁾ +?l₂⁽ⁿ⁾ – n-е измерение.

После возведения в квадрат обеих частей каждого равенства почленно их сложим и разделим на n:

∑?U² / n = (∑?l₁²)/n + 2×(∑?l₁×?l₂)/n + (∑?l₂²)/n.

Так как в удвоенном произведении?l₁ и?l₂ имеют разные знаки, они компенсируются и делим на бесконечно большое число n, то можно пренебречь удвоенным произведением.

m_U² = m_l1² + m_l2²;

m_U = √(m_l1² + m_l2²).

СКП суммы двух измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП слагаемых.

Если слагаемые имеют одинаковую СКП, то:

m_l1 = m_l2 = m;

m_U = √(m² + m²) = √2m² = m√2.

В общем случае:

m_U = m√n,

где n – количество аргументов l.

Если дана функция вида U = l₁ - l_2, то:

m_U = m√n;

m_U = √(m_l1² + m_l2²)

СКП разности двух измерений величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП уменьшаемого и вычитаемого.

Если функция вида U = l₁ - l₂ + l_{3 ,} то:

m_U = √(m_l1² + m_l2² + m_l3²…)

СКП суммы n измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП всех слагаемых.

Для линейной функции вида U = k₁l₁ + k₂l₂ + … + k_nl_{n :}

m_U = √[ (k₁m_l1)² + (k₂m_l2)² + … + (k_nm_ln)²],

т.е. СКП алгебраической суммы произведений постоянной величины на аргумент равна корню квадратному из суммы квадратов произведений постоянной величины на СКП соответствующего аргумента.

Функция общего вида U = ƒ(l₁, l₂, …, l_n).

Это наиболее общий случай математической зависимости, включающий все рассматриваемые выше функции, являющиеся частным случаем. Это значит, что аргументы l₁, l₂, …, l_n могут быть заданы любыми уравнениями. Для определения СКП такой сложной функции необходимо проделать следующее:

1. Найти полный дифференциал функции:

dU = (dƒ/dl₁)×dl₁ + (dƒ/dl₂)×dl₂ + … + (dƒ/dl_n)×dl_n,

где (dƒ/dl₁), (dƒ/dl₂), …,(dƒ/dl_n) – частные производные функции по каждому из аргументов.

2. Заменить дифференциалы квадратами соответствующих СКП, вводя в квадрат коэффициенты при этих дифференциалах:

m_U² = (dƒ/dl₁)²×m_l1² + (dƒ/dl₂)²×m_l2² + … +(dƒ/dl_n)²×m_ln²

3. Вычислить значения частных производных по значениям аргументов:

(dƒ/dl₁), (dƒ/dl₂), …,(dƒ/dl_n)

И тогда

m_U = √[ (dƒ/dl₁)²× m_l1² + (dƒ/dl₂)²×m_l2² + … +(dƒ/dl_n)²×m_ln²]

СКП функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на СКП соответствующего аргумента

Оценка точности по разностям двойных измерений

и по невязкам в полигонах и ходах

В практике геодезических работ часто одну и ту же величину измеряют дважды. Например, стороны теодолитного хода в прямом и обратном направлении, углы двумя полуприемами, превышения – по черной и красной стороне рейки. Чем точнее произведены измерения, тем лучше сходимость результатов в каждой паре.

m_lср. = ½ √∑d²/n,

где d – разности в каждой паре;

n – количество разностей.

Формула Бесселя:

m_lср = ½ √∑d²/n-1

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометрическому условию, например, сумма внутренних углов треугольника должна быть 180?, то точность измерений можно определить по невязкам получающимся в результате погрешностей измерений.

μ=√∑ [f² /n]/N,

где - СКП одного угла;

f – невязка в полигоне;

N – количество полигонов;

n – количество углов в полигоне.