Определение. Пусть . Циклической подгруппой , порожденной элементом , называется множество . Это определение корректно, т.к. - снова степень , - снова степень . Определение. Группа - циклическая, если такой, что . Примеры циклических групп: 1) , т.к. ; 2) , где . Теорема. Пусть , тогда . Доказательство. Допустим, что найдутся такие , что . Тогда и . Следовательно, порядок элемента конечен . Пусть и , тогда . Следовательно, группа состоит из элементов . Докажем, что они все различны. Пусть и , тогда и . Получили противоречие, следовательно , все элементы различны и всего из штук, т.е. . Если же все степени будут различны, то . Теорема. Любая подгруппа циклической группы сама является циклической. Доказательство. Пусть . Тогда состоит из каких-то степеней элемента . Заметим, что если , то и . Если , то . Если же содержит не только единичный элемент, то содержит какой-то элемент , где (в силу нашего замечания выше). Пусть - наименьшее натуральное число такое, что . Пусть и , где . Тогда . Если , то мы получаем противоречие с выбором числа , следовательно, и . Следовательно . Следствие 1. Пусть и , тогда такие, что . Следствие 2. Пусть (порядка ) и - подгруппа в , тогда , причем . Доказательство. По теореме . Пусть , тогда . Следовательно . Докажем теперь включение в другую сторону. Пусть , но , следовательно . Следовательно , т.е. , причем . Упражнение. Докажите, что , где .
|