Определение. Отображение называется гомоморфизмом, если . Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом. Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом. Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом. Изоморфизм группы на себя называется автоморфизмом. Примеры: 1) , . - гомоморфизм. 2) , . - гоморфизм. 3) - группу аффинных преобразования -мерного пространства отобразим на - группу линейных преобразований -мерного пространства. Будем ставить аффинному преобразованию в соответствие его дифференциал, т.е. - аффинное преобразование перейдет в . Это будет гомоморфизмом. 4) Пусть есть группа , возьмем элемент . Автоморфизм сопряжения с помощью элемента : . Этот автоморфизм нетривиален (не тождественный), если найдется такой, что . Определение. Группа называется абелевой (коммутативной), если . Предложение. Если - гомоморфизм, то и . Здесь - единичный элемент группы , - единичный элемент группы . - обратный к элемент группы , - обратный к элемент группы . Доказательство. 1) Т.к. , то . Имеем . 2) , следовательно . Предложение. Гомоморфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда из следует , т.е. полный прообраз единицы равен единице. Доказательство. Если мономорфизм и . Т.к. и инъективно, то . Пусть (полный прообраз) и . Тогда . По условию , т.е. . Следовательно - инъективно, т.е. является мономорфизмом. Определение. Пусть отображение - гомоморфизм групп. Тогда ядром этого отображения называется множество , т.е. полный прообраз единицы.
По предыдущему предложению получаем, что - мономорфизм тогда и только тогда, когда . Упражнение. Пусть - гомоморфизм групп, доказать, что является подгруппой в . Определение. Подгруппа в группе называется нормальной (обозначается ), если , т.е. если . Предложение. Пусть - подгруппа в , тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) ; 2) ; 3) каждый правый смежный класс совпадает с левым, т.е. . Доказательство. Очевидно. Надо доказать, что , пусть , тогда . Поэтому , следовательно . Обратно аналогично: , следовательно и . Мы имеем, что . Возьмем произвольный элемент , тогда , т.е. , но тогда . Мы получили, что . Теперь покажем, что таким образом можно получить любой элемент из , т.е. что . Если , то , следовательно , но тогда . Следовательно . Пример: При помощи этого предложения можно доказать, что не является нормальной подгруппой в , т.к. ее левые и правые смежные классы не совпадают. Теорема. Пусть - гомоморфизм, тогда . Доказательство. Сначала докажем, что является подгруппой в . Если , то и , т.к. . Если , то и , т.к. . Теперь докажем нормальность этой подгруппы. , следовательно и . Примеры: 1) , . Тогда . 2) , . Тогда . 3) , . Тогда . Предложение. Если - гомоморфизм и , тогда . Доказательство. . Определение. Пусть , фактор группа - это множество смежных классов по с операцией . Теорема. - группа. Доказательство. Сначала докажем, что операция определена корректно. Пусть и , покажем, что . Имеем и , тогда . Причем , следовательно . Ассоциативность операции: . Единичный элемент: . Обратный элемент: . Отображение , называется естественным эпиморфизмом. Теорема. Отображение - эпиморфизм и . Доказательство. , т.к. , то у любого смежного класса есть прообраз, следовательно, это эпиморфизм. Т.к. , то . Теорема (о гомоморфизме). Пусть - гомоморфизм групп, тогда (изоморфно). Доказательство. Построим изоморфизм : , . Эта отображение определено корректно, т.к. . Докажем, что это гомоморфизм: . Докажем биективность, т.е. что это изоморфизм. Т.к. , это отображение биективно. Пример: Покажем, как при помощи этой теоремы доказать изоморфность . Нам нужно задать гомоморфизм такой, чтобы . Например . Тогда по теореме о гомоморфизме будем иметь, что . Лекция 3 (17.09.2001) Теорема. Циклическая группа порядка изоморфна группе . Доказательство. Пусть . Зададим гомоморфизм следующим образом: . Это гомоморфизм, т.к. . Тогда по теореме о гомоморфизме имеем . Упражнение. Бесконечная циклическая группа изоморфна группе . Определение. Пусть - группа. - произвольное множество. действует на , если есть отображение , т.е. которое паре ставит в соответствие некоторый элемент . Причем и . Примеры: 1) действует на - -мерном комплексном пространстве, по следующему правилу: пусть - базис, в нем вектор имеет координаты , тогда . 2) Пусть - подгруппа в , тогда действует на по правилу . 3) Пусть и . Имеем естественное действие симметрической группы на множестве . 4) Пусть и - многочлены от неизвестных. Действие определим по правилу . 5) действует на сопряжением . Т.к. и , то это действительно будет действием. Предложение. Пусть действует на и , тогда отображение является биекцией на множестве . Доказательство. Для доказательства этого факта на достаточно указать обратное отображение. Им будет отображение . Оно действительно будет обратным, т.к. и . Следовательно, это биекция. Определение. Пусть действует на и . Орбита - это множество . Стабилизатор - это множество . Упражнение. Доказать, что является подгруппой в . Определение. Пусть - группа . Централизатор - это множество . Класс сопряженных элементов, содержащий - это множество . Примеры: 1) При действии на - -мерном пространстве будет всего две различные орбиты: все ненулевые векторы (орбита любого ненулевого вектора), ноль (орбита нуля). 2) При действии подгруппы на группе имеем и . 3) При действии на себе сопряжением имеем , . Предложение. Если орбиты пересекаются, то они совпадают. Доказательство. Пусть . имеем , следовательно . имеем . Аналогично имеем . Предложение. . Доказательство. Допустим, что , но тогда . Следовательно существует биекция между множеством орбит и множеством левых смежных классов по . Следовательно - это число различных смежных классов, а по теореме Лагранжа это равно . Следствие. . Упражнение. Доказать, что если , то . Определение. Пусть действует на . Элемент называется неподвижным (инвариантным) относительно этого действия, если , т.е. если . Примеры: 1) При действии симметрической группы на многочлены неподвижными являются симметрические многочлены. 2) При действии на себе сопряжением имеем, что элемент неподвижен тогда и только тогда, когда . Множество всех неподвижных элементов группы называется центром группы (обозначается ). Упражнение. - нормальная абелевая подгруппа в . Теорема. Пусть -поле, тогда . Доказательство. Пусть , если она неподвижна, то . Распишем это равенство: . В левой матрице на месте стоит элемент , а в правой , следовательно , а остальные элементы нули. Т.к. это верно для любых , то матрица диагональная и по диагонали стоят одинаковые числа, т.е. . Упражнение. Найдите центры групп и . Теорема. При . Доказательство. Возьмем - любую не единичную подстановку. Разложим ее в произведение независимых циклов: 1) Пусть в этом разложении есть два цикла, т.е. . Возьмем подстановку , тогда . 2) Пусть в этом разложении есть хотя бы один цикл длины 3, т.е. , . Возьмем подстановку , тогда . 3) Пусть в этом разложении есть только один цикл длины 2, т.е. . Т.к. мы работаем в группе при , то найдется . Возьмем подстановку , тогда . Оставшийся случай - ни одного цикла - это и будет единичная подстановка. Следовательно неподвижной может быть только единичная подстановка. Упражнение. Докажите, что . Теорема. Две подстановки из сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое цикловое строение, т.е. наборы длин циклов у них одинаковые. Доказательство. . Пусть , тогда . Т.к. , то и , следовательно, эти циклы независимые и мы получили такое же цикловое строение. . Покажем на примере, как по данным двум подстановкам и найти подстановку , такую что . Пусть и , тогда , следовательно . Определение. Группа называется -группой, если ее порядок является степенью простого числа . Теорема. Если - -группа, то . Доказательство. Разобьем на классы сопряженных элементов (они не пересекаются) . Одноэлементные классы состоят из одного центрального элемента. Если - не одноэлементный класс, то - делится на . Имеем, что , где отвечает всем одноэлементным классам, а - не одноэлементным. Следовательно , следовательно . Следствие. Группа порядка ( просто) абелева. Доказательство. Если , то по теореме или . 1) Пусть , тогда . Следовательно циклическая, т.е. . Пусть , тогда и пусть , тогда , т.к. . Имеем, что (элементы и перестановочны с и друг с другом, т.к. они центральные). Следовательно - абелева и , т.е. , получили противоречие с тем, что . 2) Если , то , следовательно, группа абелева. Лекция 4 (24.09.2001) Теорема (1-ая теорема Силова). Пусть - группа порядка , где - простое число, тогда в группе существует подгруппа порядка . Доказательство. Доказательство проведем по индукции по порядку группы. База индукции. Если утверждение очевидно, в качестве подгруппы можно взять саму группу. Индуктивный переход. 1) Пусть в группе существует нецентральный элемент, т.е. . Пусть - класс сопряженных элементов, содержащий . Т.к. , то , кроме того , где - это централизатор элемента . Мы знаем, что всегда является подгруппой. 1а) Пусть , тогда и . Тогда по предположению индукции (т.к. ) в , а значит и в , есть подгруппа порядка . 1б) Пусть , т.е. . Разобьем группу на непересекающиеся классы сопряженных элементов. , . Т.к. , то . Лемма. Пусть - конечная абелева группа и - простое число, делящее , тогда в есть элемент порядка . Доказательство. Проведем индукция по порядку . База индукции: если утверждение очевидно. Индуктивный переход. 1) Если порядок какого-нибудь элемента делится на , то пусть , тогда . 2) Пусть порядок любого элемента не делится на . Возьмем произвольный (не единичный) элемент . Рассмотрим , тогда - делится на . По предположению индукции , т.ч. . Рассмотрим в . Пусть - естественный гомоморфизм , тогда . По теореме о гомоморфизме , тогда . Т.е. делит . Т.е. порядок делится на , что противоречит предположению пункта 2. Лемма доказана. Вернемся к доказательству теоремы. Мы имеем, что , причем - абелева группа. По лемме в существует элемент порядка . Пусть , тогда и (т.к. - центральный элемент). Тогда . По предположению индукции в есть подгруппа порядка . Рассмотрим естественный гомоморфизм , рассмотрим полный прообраз подгруппы : , т.е. и . По теореме о гомоморфизме и . 2) Если в нет нецентральных элементов, то , т.е. является абелевой группой. Рассуждая аналогично предыдущему пункту, применив лемму, получим утверждение теоремы. Теорема доказана. . Определение. Пусть - конечная группа и , где - простое число и . Тогда подгруппа в порядка называется силовской -подгруппой. Теорема (2-ая теорема Силова). Пусть - конечная группа, - простое число, делящее порядок группы. Тогда любая -подгруппа (подгруппа порядка ) содержится в некоторой силовской, кроме того любые две силовские подгруппы сопряжены. Доказательство. Пусть - -подгруппа в , - силовская -подгруппа. Пусть . Определим действие: действует на на правилу: если , то . - не делится на . Орбита . , где - некая функция от . Разобьем на непересекающиеся орбиты действия . Если все орбиты не одноэлементные, то , что неверно. Следовательно, существует одноэлементная орбита, т.е. существует , такой что , что равносильно условию , но - силовская подгруппа. Если - силовская, то , т.к. они имеют одинаковый порядок. Следовательно две силовские подгруппы сопряжены. Теорема (3-я теорема Силова). Пусть - число различных силовских -подгрупп в . Тогда делит и . Доказательство. Пусть - множество всех силовских -подгрупп в , тогда . На группа действует сопряжением, т.е. если и , то . По 2-ой теореме Силова множество является орбитой любой силовской -подгруппы. Т.е. при таком действии существует всего одна орбита и , следовательно, . Пусть , рассмотрим действие в сопряжением. снова разбивается на орбиты, и порядок каждой из них делит и потому является степенью числа . Но инвариантно относительно этого действия, т.е. - это одноэлементная орбита. Пусть есть еще какая-нибудь одноэлементная орбита, например, , т.е. . Пусть . Лемма. Множество является подгруппой в и . Доказательство. Пусть и . Тогда и , т.е. - действительно является подгруппой. Пусть и , где и , тогда , т.е. . Лемма доказана. Завершим доказательство теоремы. Рассмотрим эту подгруппу . Тогда , т.е. . Пусть - естественный гомоморфизм. Тогда . Но если , то , где и , тогда , следовательно . В этом случае делит , т.е. - степень числа . Следовательно - степень числа и . Т.к. - силовская, что . Но . Аналогично получаем, что и . Но по предположению и различны, получили противоречие. Итак в только одна одноэлементная орбита (), значит порядок любой другой орбиты делится на , следовательно, . Приложения теорем Силова. 1) Возьмем группу , найдем силовские -подгруппы. мы знаем, что , т.е. и силовская -подгруппа имеет порядок . Одна из силовских подгрупп - это подгруппа , остальные ей сопряжены, т.е. равны . 2) Рассмотрим группу . . Ее силовские 2-подгруппы (всего их 3): , , . Ее силовская 3-родгруппа (она всего одна): . 3) Рассмотрим группу . . Силовских 2-подгрупп всего может быть либо 1, либо 3. Возьмем . Рассмотрим подгруппы , , , … Они все силовские и среди них есть различные, следовательно всего существует три силовские 2-подгруппы. Силовские 3-подгруппы (всего их 4): , , и . Упражнение. Докажите, что если - наименьшее простое число, делящее и - подгруппа индекса (существует всего различных смежных классов по ), то .
|