Классификация связей

Под связью в механике понимают условия накладывающие ограничения на свободу перемещения точек системы.

Практически связи осуществляются с помощью материальных тел или приспособлений (стержней, нитей, подшипников, шарниров и т.п.), с которыми соприкасается данная механическая система при своем движении.

№ пп	Тип связи	Определение	Пример
2.1	Внутренние	– это связи, которые будучи наложены на точки системы, не препятствуют системе свободно перемещаться после того, как она внезапно отвердеет	Рассмотрим механическую систему – составную конструкцию (АВ + ВС). Шарнир в точке В – внутренняя связь. Шарнирно неподвижная опора в точке А и шарнирно подвижная опора в точке В – внешние связи.
2.2	Внешние	– это связи, которые будучи наложены на точки системы, не позволяют системе свободно перемещаться

Мы будем представлять связи схематически в виде геометрических линий, точек и поверхностей.

При этом связи в аналитической механике могут быть выражены математически в виде уравнений или неравенств, связывающих между собой координаты, скорости и ускорения точек системы, а также время:

где n – число точек системы.

Такие соотношения называются уравнениями связей.

№ пп	Тип связи	Определение	Уравнение связи	Примеры
3.1	Удерживающие (двусторонние или неосвобождающие)	– это связи, которые сохраняют свое действие во все время движения точек системы. Они препятствуют перемещениям механической системы в некоторых направлениях, а также в направлениях прямо противоположных. Чаще всего удерживающие связи вводятся в соответствии с условием, что точки системы должны находится на некоторых кривых или поверхностях в пространстве, или расстояния между ними не должны меняться и т.п.	уравнения задаются строгими равенствами.	Рассмотрим невесомый, недеформируемый стержень, соединяющие материальные точки и . Точки и не могут ни приблизится, ни отдалиться. При этом точка может перемещаться по кривой, лежащей на сфере радиуса . Т.о. координаты точки связаны зависимостью , которая является уравнением удерживающей геометрической связи.
3.2	Неудерживающие (односторонние или освобождающие)	– это связи, которые могут в некоторые промежутки времени прекращать и возобновлять свое действие. Чаще всего такого рода связи препятствуют перемещениям материальных точек механической системы в некоторых направлениях, но допускают перемещения в прямопротивоположных направлениях. Обычно подобные связи имеют место в тех случаях, когда запрещается пребывание точек в некоторой части пространства.	уравнения задаются неравенствами.	Точки и соединены нерастяжимой нитью. Они не могут отдалиться друг от друга, но имеют возможность приблизиться (при этом произойдет смятие нити). Уравнение связи в этом случае имеет вид: . Знак равенства соответствует натянутой нити.

№ пп	Тип связи	Определение	Уравнение связи	Примеры
4.1	Стационарные (склерономные)	– это связи, не зависящие явно от времени.	уравнения не содержат в явном виде время t.	1. См. примеры связей п.3.1 и п.3.2. 2. Рассмотрим кривошипно–ползунный механизм. Определяя произвольные положения трех точек механизма, получаем пять уравнений связей: Первые три уравнения системы выражают неподвижность точки , скольжение точки по оси ; четвертое и пятое уравнения системы выражают неизменяемость расстояний и . Все пять уравнений дают зависимость между координатами трех точек. В уравнения явно не входит, хотя являются функциями от .
4.2	Нестационарные (реономные)	– это связи, зависящие явно от времени.	в уравнения в явном виде входит время.	1. Рассмотрим подъемный кран, поднимающий груз . Трос – связь, зависящая от времени. При равномерном наматывании троса на барабан со скоростью длина свисающей части троса изменяется по закону , где – длина участка в начальный момент времени. Т.к. груз может раскачиваться, то уравнение этой связи имеет вид Уравнение содержит время в явном виде.

№ пп	Тип связи	Определение	Уравнение связи	Примеры
				2. Рассмотрим кривошипно–ползунный механизм. Допустим ползун кривошипно-ползунного механизма скользит по поверхности стола, который совершает гармонические колебания в вертикальном направлении: . Уравнение связей получим, определяя произвольные положения трех точек механизма: Третье уравнение системы содержит время в явном виде.
5.1	Голономные (интегрируемые)	– это связи, которые накладывают ограни-чения на положения точек механической системы.	в уравнения связей не входят скорости и ускорения точек системы. Вместе с тем будучи продифференцированы по времени, уравнения голономных связей представляют ограничения, накладываемые на скорости точек системы. Т.е. голономные связи могут описываться и дифференциальными уравнениями, однако последние обязательно должны быть интегрируемыми.	1. См. примеры связей п. 3.1, п.3.2, п. 4.1 и п.4.2. 2. Рассмотрим колесо, катящееся по плоскости без скольжения. Т.к. колесо не отрывается от рельса и перекатывание происходит без скольжения, то ограничения, наложенные на движение колеса, можно записать в виде: (1) (2)

№ пп	Тип связи	Определение	Уравнение связи	Примеры
				Т.к. , то проектируя (2) на , получим: Это дифференциальное уравнение является интегрируемым и при интегрировании получаем при НУ: , что . Окончательно запишем уравнения связи в следующем виде: Полученные уравнения не содержат производных от координат по времени.
5.2	Неголономные (неинтегрируемые)	– это связи, которые накладывают ограничения на координаты и скорости точек системы.	уравнения содержат координаты точек системы, скорости этих точек и время и являются неинтегрируемыми дифференциальными уравнениями: Уравнения могут быть проинтегрированы лишь в совокупности с дифференциальными уравнениями движения механической системы.	Рассмотрим шар, катящийся без скольжения по шероховатой плоскости. Ограничения, наложенные на движение шара, можно записать в виде: (1) (2) Т.к. , , и согласно кинематическим уравнениям Эйлера: уравнение (2) запишем в следующем виде: . Проектируя последнее уравнение на оси координат, получим, что уравнения связи имеют след. вид
					Получили дифференциальные уравнения, которые не интегрируются в общем виде.