Лекция №1: Уравнение движения газа

Тема № 3

Основные уравнения газодинамики

Лекция №1: Уравнение движения газа

К основным уравнениям, описывающим процесс движения газа в системе сбора и подготовки, относят: уравнение движения, уравнение неразрывности и уравнение энергии.

Уравнение движения газа является выражением закона сохранения энергии для газового потока в трубопроводе. Оно строится на основе принципа суперпозиции сил, действующих на элемент вещества в газовом потоке (принцип д‘Аламбера).

Рассмотрим одномерное движение (рисунок 1), т.е. движение, при котором параметры изменяются по длине и остаются неизменными в сечении. Выделим на оси трубопровода с некоторым углом наклона к горизонтали параллелепипед с ребрами dx, dy i dz, при чем ось Ох совпадает с осью трубопровода. На выделенный элемент действуют силы гравитации G, инерции І, вязкостного трения Т и давления Р. Принцип д‘Аламбера состоит в том, что векторная сумма действующих сил равна нулю, или:

Рисунок 1 – Силы, действующие на элемент потока

Рассмотрим, как определяется каждая из приведенных сил через параметры газового потока.

Силу гравитации можно определить в виде произведения объема параллелепипеда на плотность газа, то есть:

где g – ускорение земного притяжения;

Сила инерции определяется аналогично на основе замены ускорения земного притяжения ускорением газового потока, что в свою очередь можно выразить производной от линейной скорости газа по времени:

Сила вязкостного трения определяется через гидравлические потери давления:

где ΔР – гидравлические потери напора на трение можно определить по известной из гидравлики формулы Дарси – Вейсбаха:

где λ – коэффициент гидравлического сопротивления, ρ – плотность газового потока, L – длина трубопровода, d – внутренний диаметр, ω – линейная скорость газа.

Поскольку гидравлические потери определяются по длине dx, то:

Силу движения можно выразить как:

где

Спроектируем все силы на ось трубопровода:

После сокращения на объем параллелепипеда получим общий вид уравнения движения:

(1)

С энергетической точки зрения (1) является законом сохранения энергии. Градиент отображает энергию, обеспечивающую движение газа (движущую силу), все остальные члены уравнения – это потери энергии:

- инерционные ;

- на трение ;

- гравитационные .

С точки зрения характера движения различают стационарное (устоявшееся) и нестационарное (неустоявшееся) движение газа. Стационарное движение характеризируется изменением параметров по длине, но постоянством во времени. Нестационарное – характеризируется кроме изменения параметров по длине изменчивостью во времени.

Рассмотрим отдельные формы изображения уравнения движения газового потока.

Стационарное движение. В этом случае из уравнения движения (1) исключаются инерционные потери, как переменные во времени. Иными словами . Произведение ρω называют массовой скоростью в отличие от линейной скорости элемента потока. Массовая скорость определяется как отношение массового расхода к площади поперечного сечения трубы:

.

Таким образом, для стационарного движения массовая скорость постоянна во времени, а уравнение движения имеет вид:

Стационарное движение в равнинном газопроводе. Если превышение геодезических высот газопровода не превышает 100 м, то газопровод считают равнинным газопроводом. Для равнинных газопроводов гравитационные потери значительно меньше потеть на трение, потому: