Пересечение поверхности плоскостью

Определение взаимного положения плоскости и поверхности - позиционная задача, для решения которой применяется метод вспомогательных секущих плоскостей. В качестве вспомогательных секущих плоскостей используются проецирующиеся плоскости - плоскости перпендикулярные плоскостям проекций, поэтому основу метода вспомогательных секущих плоскостей составляет алгоритм решения задачи по нахождению линии пересечения поверхности проецирующей плоскостью.

Особое место занимают задачи по нахождению линии пересечения плоскости с конической поверхностью. В зависимости от положения секущей плоскости линией пересечения может быть окружность, эллипс, парабола, гипербола.

Для определения проекции линии сечения следует найти проекции точек, принадлежащих этой линии в следующем порядке:

1) проекции опорных точек - точек расположенных на очерковых образующих поверхности (эти точки определяют границы видимости проекции кривой);

2) проекции экстремальных точек, удаленных на минимальные и максимальные расстояния от плоскостей проекций;

3) проекции произвольных (промежуточные) точек линии сечения.

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций, сложность решения позиционной задачи, по определению линии пересечения ее с поверхностью существенно меняется. Наиболее простым представляется случай, когда плоскость проецирующая, поэтому к рассмотрению предлагается пример пересечения поверхности проецирующей плоскостью.

Окружность, по которой плоскость α пересекает сферу, проецируется на плоскости П₁ и П₃ в виде эллипса, а на плоскость П₂ в прямую линию ограниченную очерком сферы.

Охарактеризуем выбранные для построения точки:

1, 8 - две вершины эллипса, определяющие положение малой оси на горизонтальной и профильной проекциях, их фронтальные проекции определяют пересечение следа плоскости α с очерком сферы. Эти точки являются соответственно высшей и низшей точками сечения.

2, 3 - фронтальные проекции этих точек лежат на вертикальной оси сферы, а профильные проекции будут лежать на очерке сферы и определять зону видимости при построении эллипса на П₃.

4, 5 - две вершины эллипса, определяющие положение большой оси эллипса на горизонтальной и профильной проекциях, положение их фронтальной проекции определяет перпендикуляр, опущенный из центра сферы к следу плоскости α.

Рис. 8.1. Изображение пересечения поверхности сферы
проецирующей плоскостью:
а - изображение в пространстве;
б - изображение на комплексном чертеже

6, 7 - фронтальные проекции этих точек лежат на горизонтальной оси сферы, т.е. принадлежат экватору сферы, их горизонтальная проекция лежит на очерке сферы и определяет зону видимости при построении эллипса на П₁.

Линия пересечения плоскости α и сферы на фронтальной плоскости проекций совпадает со следом плоскости α, на ней отмечаем точки 1₂...8₂. Для нахождения горизонтальных проекций этих точек в общем случае используется метод вспомогательных секущих плоскостей (β - горизонтальные плоскости уровня). Например, через точки 2₂, 3₂ проведем след плоскости β ¹₂, на горизонтальной плоскости проекций линией пересечения плоскости β₁ и сферы будет окружность m₁¹, а точки 2₁ и 3₁ лежат на этой окружности по линии связи (в данном случае осевой линии). Таким образом находятся все точки, кроме 1₁ и 8₁, которые ввиду своего положения на очерке фронтальной проекции сферы будут принадлежать горизонтальной осевой линии на плоскости П ₁. Построенные точки 1₁...8₁ соединим плавной кривой линией с.

Особое место занимают задачи по нахождению линии пересечения плоскости с конической поверхностью. В зависимости от положения секущей плоскости линией пересечения может быть окружность, эллипс, парабола.

Конические сечения

В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть: эллипс, парабола, гипербола и окружность а в частных случаях: прямая, две пересекающиеся прямые и точка (рис. 8.2).

Рассмотрим некоторые примеры пересечения конуса плоскостью.

Если плоскость Ф пересекает все образующие поверхности конуса вращения, т.е. если φ > α, то линией сечения является эллипс (рис. 8.3 а). В этом случае секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих поверхности конуса.

Если плоскость Ф параллельна основанию поверхности конуса, то линией пересечения является окружность (рис. 8.3.б).

a б

в г

Если плоскость Ф параллельна одной образующей поверхности конуса, т.е. φ = α, то линией пересечения является парабола ( рис.8.3.в ). В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую.

Если плоскость Ф параллельна двум образующим поверхности конуса (в частном случае параллельна оси конуса), т.е. φ<α, то линией сечения является гипербола ( рис. 8.3. г). В случае прохождения плоскости через вершину конической поверхности фигурой сечения могут быть сами образующие, т.е. гипербола вырождается в две пересекающие прямые.