2020-09-24
20341. Поля напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины.
2. Частные случаи определения КИН.
3. Численные методы определения КИН.
4. Определение НДС в вершине трещины для анизотропного случая.
1. Поля напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины.
Ставится задача вычисления напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины. Данная задача сводится к решению плоской задачи теории упругости для математического разреза с граничными условиями, реализующими один из типов трещин. Рассмотрим тело с трещиной (Рис. 1), выберем систему координат с центром в вершине трещины.
Рис. 1. – Тело с трещиной.
Заменим реальную трещину математическим разрезом (Рис. 2), решение задачи удобно рассматривать в полярных координатах (центр координат в вершине трещины).
Рис. 2. – Математическая модель тела с трещиной.
Аналитические решения могут быть получены с помощью методов функций комплексного переменного. Решение в явном виде задачи теории упругости по определению напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины существует для трех типов простых трещин. В полученных решениях для перехода от плоского-напряженного состояния к плоско-деформированному состоянию нужно сделать замену:
(5.1)
I. Для трещины нормального отрыва (тип I) решение имеет следующий вид:
;
;
;
, 
; (5.2)
;
.
II. Для трещины поперечного сдвига (тип II):
;
;
;
; ; (5.3)
;
.
III. Для трещины продольного сдвига (тип III):
; 
;
; 
; (5.4)
.
, 
, 
– величины, характеризующие изменение (скорость изменения, «интенсивность» изменения и т.п.) напряженно-деформированного состояния в вершине трещины, зависящие от геометрии образца и внешних нагрузок, называются коэффициентом интенсивности напряжений соответственно для трещины нормального отрыва (I тип), поперечного (II тип) и продольного (III тип) сдвига.
При радиусе, стремящемся к нулю, ненулевые компоненты тензора напряжений стремятся к бесконечности 
. Это является следствием решения задачи в упругой постановке. Поля напряжений и деформаций вблизи трещины определенного типа (I,II,III) для каждого вида трещины (произвольного вида) отличаются только на величину КИН (коэффициент интенсивности напряжений), т.е. на сколько быстро меняются с изменением координат.
2. Частные случаи определения КИН.
Задача определения КИН с математической точки зрения не менее сложная, чем задача определения НДС. В настоящее время имеются только несколько аналитических решений для наиболее простых видов трещин (см. справочники по механике разрушений). Остальные частные случаи получены с помощью различных приближенных методов. Рассмотрим несколько частных случаев, конфигурации которых наиболее часто встречаются в технике и широко используются в инженерных расчетах.
I.Трещина нормального отрыва в бесконечной плоскости нагруженная на бесконечности растягивающим усилием 
(Рис. 3, А).
(5.5)
Формула (5.5) носит название – «решение Ирвина».
Если образец имеет ограничения по внешним размерам, то вводят поправку – 
, которая называется “ К -тарировка”- коэффициент учитывающий форму, внешние размеры образца и характер расположения трещины (где: с краю, внутри тела, кольцевая и т.п.):
(5.6)
II. Краевая трещина в полубесконечной плоскости (Рис.3, Б):
(5.7) формула (5.7) – «решение Бови».
IV. Краевая трещина в бесконечной полосе (Рис. 3, В):
, где (5.8)
, 
, (5.9)
здесь b – ширина полосы, l – длина трещины. Формула (5.8) – «решение Гросса».
В реальных задачах полоса имеет конечные размеры. Если 
, то используем «решение Гросса»; иначе необходимо учитывать величину 
(длину полосы).
V. Центральная трещина в бесконечной полосе (Рис. 3, Г):
(5.10)
формула (5.10) с учетом условия (5.9) носит название «решения Ирвина».
, 
, 
(5.11)
формулы (5.11) –«решение Федерсена».
, 
(5.12)
формула (5.12) – «решение Исиды».
 |
А Б В Г
Рис. 3. – Виды трещин:
А) Трещина нормального отрыва;
Б) Краевая трещина в полубесконечной плоскости;
В) Краевая трещина в бесконечной полосе;
Г) Центральная трещина в бесконечной полосе.
V. Бесконечная полоса с двумя краевыми трещинами (Рис. 4, А):
– «решение Бови». (5.13)
– «решение Ирвина». (5.14)
VI. Круглая трещина в массиве (Рис. 4, Б):
, (5.15)
где 
- радиус трещины. Формула (5.15) – «решение Снеддона».
VII. Бесконечная плоскость с трещиной поперечного сдвига (Рис. 4, В):
. (5.16)
VIII. Бесконечная плоскость с трещиной продольного сдвига, нагрузка перпендикулярна листу (Рис. 4, Г):
. (5.17)
А Б
|
 | |||
 | |||
В Г
Рис. 4. – Виды трещин:
А) Бесконечная полоса с двумя краевыми трещинами;
Б) Круглая трещина в массиве;
В) Бесконечная плоскость с трещиной продольного сдвига;
Г) Бесконечная плоскость с трещиной поперечного сдвига.
IX. Трещина в бесконечной анизотропной плоскости (Рис. 5, А):
; (5.18)
.
X. Асимметричное расклинивающее усилие в плоскости под произвольным углом (Рис. 5, Б). Суперпозиция трех видов трещин.
;
; (5.19)
,
где 
- расстояние от оси симметрии до точки, в которой сосредоточено произвольное усилие.
а б
Рис. 5. – Виды трещин:
А) Трещина в бесконечной анизотропной плоскости;
Б) Плоская трещина с произвольным усилием, сосредоточенным на берегах трещины.
Задача определения НДС в простейшем случае сводится к следующему: из справочника берется частное решение наиболее близкое к реальному, из него находится КИН, а затем найденное значение подставляем в асимптотические формулы (5.2 – 5.4).
3. Численные методы определения КИН.
Аналитические решения задач для тел с трещиной получены только для некоторых частных случаев, они сведены в таблицу. Поэтому при решении большинства реальных задач для оценки НДС и КИН используют популярные численные методы и их вариации: метод конечных элементов, метод граничных элементов, вариационно-разностный метод.
Метод конечных элементов.
Условно разделяют на «прямые» и «энергетические» методы определения КИН.
«Прямой» метод.
Один из основных методов (асимптотический метод) основан на использовании асимптотических формул и заключается в следующем: с использованием любого численного метода определяется НДС вблизи вершины трещины; затем в формулу (5.20) подставляются значения тензора напряжений 
и определяется 
.
; 
;
; 
. (5.20)
Преимущества: возможность использования стандартных процедур и программ.
Недостатки: погрешность решения зависит от погрешности конечно-элементной аппроксимации, т.е. необходимо мелкое разбиение в вершине трещины; коэффициент интенсивности характеризует скорость изменения напряжений, поэтому нужно рассматривать точку как можно ближе к вершине трещины, вследствие чего получаем большую погрешности численного решения.
Пути повышения точности решения: использование мелких сеток; поэтапное решение задачи с постепенным сгущением сетки в вершине трещины; использование сингулярных конечных элементов.
Энергетические методы.
Данные методы определения КИН основываются на использовании зависимости коэффициента интенсивности напряжений от изменения потенциальной энергии упругого деформирования 
формула (5.21).
; (5.21)
для плоско-напряженного состояния, в случае плоско-деформированного состояния значение «приведенного» модуля Юнга вычисляется по формуле (5.22):
. (5.22)
Метод податливости (метод полной энергии).
В изотермических задачах теории упругости изменение потенциальной энергии упругого деформирования при изменении длины трещины 
равно работе внешних сил 
(5.23).
. (5.23)
В методе конечных элементов это реализуется по следующей схеме:
; (5.24)
; (5.25)
, (5.26)
где 
-м индексом обозначены узлы в которых приложена внешняя нагрузка.
, 
(5.27)
В матричном виде:
; (5.28)
, (5.29)
где 
, 
- узловые усилия и перемещения.
Порядок решения задачи:
В силу симметрии можно рассматривать половину тела с трещиной. Трещина в МКЭ задается свободной поверхностью (узлы не закреплены). Приращение длины трещины 
моделируется высвобождением узла перед вершиной трещины.
 | |||||||||
 |  |  |  | ||||||
Рис. 6. – Конечно-элементная модель тела с трещиной.
Для выбранной конечно-элементной сетки (Рис. 6); при длине трещины 
и заданной внешней нагрузки решается задача теории упругости (определяем НДС). Находим матрицы узловых перемещений 
. На этой же сетке конечных элементов и при той же нагрузке, но при длине трещины (
) решаем задачу нахождения матрицы узловых перемещений 
. Найденные величины подставляем в формулу (5.29) и определяем КИН.
Преимущества метода: использование одной и той же конечно-элементной сетки исключает систематическую ошибку. Возможность использования грубого разбиения, за исключением области вершины трещины, где задается приращение длины трещины.
Недостатки: можно использовать только там, где справедливо соотношение (5.21), справедливо только для плоских случаев (трещин), в основном на модельных задачах.
Метод виртуального роста трещины.
Приращение роста трещины задается смещением узла (Рис. 7).
Рис. 7. – Схема смещения узла КЭ сетки.
Меняется геометрия – меняется и матрица жесткости.
(5.30)
Дифференцирование матрицы сводится к вычислению приращений (их отношения).
(5.31)
Метод граничных элементов (Рис. 8).
С помощью любого МГЭ (по аналогии с МКЭ) можно определить НДС и с использованием сингулярных формул либо других зависимостей определить КИН. В качестве граничного элемента выступает трещина.
Метод разрывных смещений.
В данном методе постановка физической и математической задачи совпадают. Следовательно, для оценки НДС этот метод является одним из наиболее предпочтительных,
Рис. 8. – Граничный элемент.
где
– разрыв смещений. (5.32)
Решение задачи теории упругости имеет вид:
(5.33)
(5.34)
(5.35)
(5.36)
(5.37)
Рассмотрим пример:
Трещина нормального отрыва в бесконечной плоскости под действием внутреннего давления 
(Рис. 9).
Рис. 9. – Тело с трещиной, нагруженное внутренним давлением.
, 
;
, 
;
, 
. (5.38)
На бесконечности:
.
Разделим трещину на 
отрезков (граничных элементов). Предположим, что граничные элементы настолько малы, что разрыв смещения в направлении оси y в пределах каждого элемента можно считать постоянным. Нормальное напряжение 
в точке 
, вызванное постоянным вдоль отрезка 
разрывом смещения 
равно (5.39):
. (5.39)
Если разрыв смещений имеет место на отрезке 
с центром в точке 
, то значение нормального напряжения 
будет вычислено по формуле (5.40):
, (5.40)
где 
– разрыв смещений на отрезке 
.
Напряжение в центре 
-го элемента, вызванное разрывом смещений в 
-ом элементе, находится путем подстановки 
вместо 
:
. (5.41)
Согласно принципу суперпозиции, напряжение в центре -го элемента, вызванное разрывами смещений во всех элементах, равно:
, (5.42)
где 
– коэффициенты влияния, находятся по формуле (3.43):
. (5.43)
Численное решение задачи о трещине под действием внутреннего давления определяется из решения системы с независимыми:
. (5.44)
Эти уравнения можно решить относительно 
(Рис. 10):
 |
Рис. 10. – Сравнение аналитического и численного решений.
4. Определение НДС для анизотропного случая.
Уравнения теории упругости для ортотропного материала:
;
; (5.45)
;
; 
; 
.
Для обобщенного плоско-напряженного состояния:
;
; (5.46)
.
Для обобщенного плоско-деформированного состояния:
; 
;
(5.47)
где 
- упругие эффективные (макроскопические) характеристики.
Для ПДС закон Гука для ортотропной среды можно записать в следующем виде
(исключив 
):
;
; (5.48)
,
где коэффициенты 
описываются формулами (5.49):
;
;
; (5.49)
;
;
.
Можно записать коэффициенты через технические постоянные (5.50):
; 
;
; 
, (5.50)
где 
, 
, 
, 
, 
– эффективные упругие характеристики: жесткости на растяжение и сдвиг и коэффициенты Пуассона.
Таким образом, заменяя технические постоянные 
на можно показать, что уравнения, описывающие ПНС и ПДС имеют один и тот же вид.
Рассмотрим решение для ортотропного тела с трещиной. Дифференциальное уравнение (5.51) для плоской задачи теории упругости (для ортотропного материала) впервые было получено Лехницким:
, (5.51)
где 
функция Эри.
Введем оператор 
(
):
. (5.52)
Тогда основное уравнение относительно 
запишется в форме:
,
где 
- корни характеристического уравнения (комплексно-сопряженые величины) в научной литературе иногда обозначают 
,; 
- действительные числа:
;
; (5.53)
.
Уравнение Лехницкого (5.51) может быть использовано для задачи определения НДС для бесконечной ортотропной среды с трещинами различного типа.
Решение для трещины нормального отрыва (5.54) имеет вид:
;
;
;
;
;
; (5,54)
;
;
.
Для трещины поперечного сдвига (5.55):
;
;
;
; (5.55)
.
Для трещины продольного сдвига (5.56):
;
; (5.56)
,
где 
– действительная часть от комплексного числа, 
– мнимая часть от комплексного числа.
Анализ решений:
– для анизотропного и для изотропного случаев в решении присутствует сингулярность по напряжениям, ее порядок (– ½). Это следствие того, что решение получено по теории упругости (материал работает только в упругой области) и в вершине напряжения стремятся к бесконечности;
– в анизотропном случае (в отличие от изотропного) решение зависит не только от КИН и координат, но и от упругих характеристик материала ().
Вопросы для самостоятельной работы:
-что такое КИН;
-что характеризует КИН;
-каков порядок сингулярности напряжений в вершине трещины, находящейся в однородном изотропном материале;
-для чего вводят коэффициент К-тарировки;
-с какой целью ряд задач по определению КИН выделены в «частные случаи»;
-какие частные случаи определения КИН в анизотропной среде Вам известны;
-какие численные методы определения КИН Вам известны;
-какие формулы называются «сингулярными»;
-чем принципиально отличаются сингулярные формулы для однородной и анизотропной среды;
-в чем отличие коэффициента концентрации от КИН;
-каков порядок сингулярности напряжений в вершине трещины, находящейся в однородном анизотропном материале;
