Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки

Теорема об изменении количества движения системы

Понятие импульса силы позволяет сформулировать теорему об изменении количества движения системы для произвольных систем:

где — начальный, а — конечный импульс изолированной системы, взаимодействующей с другими системами лишь посредством сил. Фактически, в этой формулировке закон сохранения импульса эквивалентен второму закону Ньютона и является его интегралом по времени, так как

Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки

Рассмотрим материальную точку M массой m, движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M ₀ материальной точки относительно центра O:

Рисунок 3.1

Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k ₀) по времени:

Так как dr / dt = V, то векторное произведение V ⊗ m⋅V (коллинеарных векторов V и m⋅V) равно нулю. В то же время d(m⋅V) / dt = F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что

dk ₀/ dt = r ⊗ F, (3.3)

где r ⊗ F = M ₀ (F) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O. Вектор k ₀⊥ плоскости (r, m ⊗ V), а вектор M ₀ (F) ⊥ плоскости (r, F), окончательно имеем

dk ₀/ dt = M ₀ (F). (3.4)

Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем

dk_x / dt = M_x (F); dk_y / dt = M_y (F); dk_z / dt = M_z (F). (3.5)

Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).

Следствие 1. Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M ₀ (F) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k ₀ = const,

т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2

Из условия k ₀ = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.

Следствие 2. Пусть M_z (F) = 0, т.е. сила пересекает ось z или ей параллельна. В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k_z = const,

т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.