Решение. В таблице представлено распределение 200 драгоценных изделий по количеству примесей в них Х(%) и стоимости Y (тыс

Задача №9

Пример 1

В таблице представлено распределение 200 драгоценных изделий по количеству примесей в них Х(%) и стоимости Y (тыс. руб):

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии.

2. предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;

б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости 0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

В) используя соответствующее уравнение регрессии, определить количество примесей в драгоценном изделии, если его стоимость составляет 25 тыс. руб.

Решение.

Находим групповые средние по формулам:

; ;

, - середины соответствующих интервалов.

=

=

Групповые средние:

Полученные по формулам значения заносим в таблицу:

Для нахождения уравнений регрессии вычисляем необходимые суммы:

25*9+35*19+45*44+55*70+65*34+75*16+85*8 = 10810

6*14+12*27+18*55+24*54+30*35+36*15 =

= 215580

Уравнения прямых регрессии:

Получаем искомые уравнения регрессии:

Ниже представлены графики полученных уравнений регрессии совместно с соответствующей эмпирической регрессией

Находим коэффициент корреляции радикал берем со знаком -, т.к коэффициенты и отрицательны.

Оценим значимость коэффициента корреляции.

По таблице критерия Стьюдента для уровня значимости 0,05 находим

Т.к. , то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Связь тесная и обратная.

По найденному уравнению регрессии находим:

Ответ: Групповые средние:

Уравнения регрессии:

Коэффициент корреляции:

Пример 2. Вычислить выборочный коэффициент корреляции , проверить его значимость и найти уравнение линии регрессии.

16,5-19,5	19,5-22,5	22,5-25,5	25,5-28,5	28,5-21,5	31,5-34,5	34,5-37,5
97,5-102,5
102,5-107,5
107,5-112,5
112,5-117,5
117,5-122,5
122,5-127,5
127,5-132,5
132,5-137,5
137,5-142,5

Решение. Найдем условные средние, соответствующие значению , по формуле . Тогда ; и т. д.

Составим корреляционную таблицу

									19,5
									29,4
									26,1
									27,6
									29,5
									29,6
									30,7
									30,0
									33,6

Контроль расчетов: - объем выборки.

Для построения эмпирической линии регрессии точки , ,…, соединим ломаной линией.

0

Рис. 7

Для нахождения выборочного коэффициента линейной корреляции найдем

;

.

Вспомогательно найдем

;

;

.

Тогда

.

.

Определим ковариацию между и по формуле

.

Находим коэффициент корреляции по формуле (8):

.

Имеем , следовательно, связь между случайными величинами и достаточно вероятна.

Для проверки значимости коэффициента корреляции проверим нулевую гипотезу ; конкурирующая гипотеза .

Найдем по опытным данным величину

.

Найдем критическое значение по таблице критерия Стьюдента (прил. 3) при уровне значимости и числе степеней свободы . Тогда , поэтому гипотезу отвергаем и принимаем гипотезу , т. е. случайные величины и коррелированы.

По виду эмпирической линии регрессии можно предположить, что между случайными величинами существует линейная корреляция, т. е. . Находим коэффициенты и по формулам (7):

; .

Тогда уравнение линейной регрессии

.

Для построения полученной прямой возьмем две точки

	26,4	32,7

График прямой достаточно близко расположен по отношению к опытной линии регрессии. Коэффициент корреляции показывает, что зависимость между случайными величинами и заметная и с увеличением значений одной случайной величины значения другой случайной величины имеют тенденцию в среднем увеличиваться.