Электрическое поле в диэлектриках

Задачи классической электродинамики

Диэлектрики разного типа можно охарактеризовать одним общим свойством: в них есть заряженные частицы, но все они связаны между собой так, что свободно перемещаться на большие расстояния не могут. Если диэлектрики оказываются в электрическом поле, то они, как принято говорить, поляризуются. При этом заряды перемещаются на расстояния порядка расстояния между молекулами.

Молекулы, из которых состоят диэлектрики, электрически нейтральны. Однако, если у них нет сферической симметрии, то они обладают дипольным моментом. Поэтому поведение элементарного диполя в электрическом поле – основа для описания электрического поля в диэлектрике. Даже если молекула или атом имеют сферическую симметрию, в электрическом поле она исчезает и появляется индуцированный полем дипольный момент атома или молекулы.

Газообразные и жидкие диэлектрики изотропны (за исключением жидких кристаллов), кристаллические твердые тела анизотропны. Особенности их поведения в электрических полях мы также рассмотрим.

§29 Электрическое поле диполя

Элементарный диполь это два жестко связанных одинаковых по модулю и противоположных по знаку заряда находящихся на расстоянии . Для его характеристики можно определить вектор дипольного момента

, (29.1)

где - вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному заряду.

Определим потенциал электрического поля диполя (рис29.1а):

. (29.2)

Окончательный результат соответствует потенциалу на большом удалении от диполя (), который находится в начале координат. Угол - это угол между вектором дипольного момента и радиус-вектором точки, в которой определяем поле.

Электрическое поле на большом удалении от диполя найдем, вычислив градиент потенциала:

. (29.3)

Это поле показано на рисунке 29.1b. Пунктир – эквипотенциальная () поверхность.

Рис.29.1

Для системы из зарядов можем определить дипольный момент системы:

. (29.4)

Причем интересующий нас в диэлектриках случай соответствует полному заряду равному нулю. В этом случае дипольный момент не будет зависеть от выбора системы координат. Радиус-вектор заряда в новой системе координат равен , где - постоянный вектор. Вектор дипольного момента в новой системе координат

оказывается таким же.

§30 Диполь во внешнем поле

Если поместить элементарный диполь в однородное электрическое поле, то результирующая сила, действующая на него, будет равна нулю. Момент силы будет отличен от нуля в общем случае:

. (30.1)

Здесь - радиус-вектор положительного заряда в диполе, - радиус-вектор отрицательного заряда в диполе.

Диполь в электрическом поле будет ориентироваться под действием этого момента сил до тех пор, пока не сориентируется параллельно полю.

Для того чтобы повернуть диполь, ориентированный параллельно полю, на угол , внешние силы должны совершить работу

. (30.2)

Эта работа будет равна потенциальной энергии диполя в электрическом поле, при условии, что за начало отсчета потенциальной энергии выбрана энергия диполя ориентированного параллельно полю. Если выбрать другое начало отсчета – потенциальная энергия диполя при равна нулю, энергия диполя в электрическом поле будет равна:

. (30.3)

Если электрическое поле, в котором оказался диполь, будет неоднородным, то кроме момента сил, на него будет действовать не равная нулю результирующая сила. Она будет равна антиградиенту потенциальной энергии:

. (30.4)

К этому же результату мы придем, определяя силы, действующие на каждый заряд диполя:

.

Теперь мы можем описать поведение диполя во внешнем неоднородном поле. Под действием момента сил он будет ориентироваться по направлению электрического поля (рис.30.1а), и втягиваться в область с большей напряженностью поля (рис.30.1b).

Рис.30.1

Если электрическое поле создает другой диполь, то мы можем определить силу их взаимодействия

.

В частности, для параллельно ориентированных диполей, находящихся на одной прямой (ось z) получим силу

.

Диполи притягиваются с силой обратно пропорциональной расстоянию между ними в четвертой степени.

§31 Поляризация атомов и молекул

Перейдем от описания абстрактных зарядов, диполей к описанию реальных объектов природы – атомов и молекул, из которых состоят все тела, в том числе и диэлектрики.

Все атомы симметричны в том смысле, что центры тяжести положительных зарядов (они все собраны в ядре атома) и отрицательных зарядов (электроны оболочки) совпадают. Дипольный момент атома равен нулю. Для молекул же возможны два варианта. Для некоторых симметричных молекул дипольный момент тоже равен нулю (неполярные молекулы). Например, молекулы водорода , кислорода , четыреххлористого углерода не имеют дипольного момента.

Менее симметричные молекулы обладают дипольным моментом (полярные молекулы). Молекула имеет дипольный момент . Молекула воды, казалось бы, не должна иметь дипольного момента, однако осевая симметрия в ней нарушена. Угол между направлениями на атомы водорода , дипольный момент молекулы воды .

В электрическом поле даже у симметричных атомов (молекул) появляется дипольный момент, поскольку центры тяжести положительных и отрицательных зарядов смещаются в противоположных направлениях. Этот процесс называют поляризацией атома. Поскольку масса электронной оболочки составляет менее чем массы ядра, в переменных полях успевает смещаться только электронная оболочка, причем за очень короткое время с. Поэтому поляризацию атома называют иногда электронной поляризацией.

В первом приближении величина смещения пропорциональна полю, в котором оказался атом, поэтому и индуцированный (наведенный) дипольный момент тоже пропорционален полю:

. (31.1)

Коэффициент пропорциональности называется атомной поляризуемостью.

Интересно проследить ее изменение для различных атомов периодической системы.

Атомная поляризуемость,

Атом	H	He	Li	Be	C	Ne	Na	Ar	K	Kr	Xe
	0.66	0.21		9.3	1.5	0.4		1.6		2.5	4.0

Видим, что наибольшую поляризуемость имеют атомы из первой группы элементов в каждом ряду, наименьшую - инертные газы в конце ряда. Легче всего поляризуются -электроны. С увеличением числа завершенных оболочек поляризация растет, поскольку внутренние оболочки экранируют ядро и внешняя оболочка (валентные электроны) легче поляризуется. Исследование поляризации атомов дает важную информацию о строении их электронных оболочек.

Если нам удастся зафиксировать молекулу, не имеющую сферической симметрии, то ее поляризуемость окажется зависящей от взаимной ориентации электрического поля и молекулы. Естественно, что в газообразных и обычных жидких диэлектриках этого сделать нельзя, однако в твердых телах это вполне возможно.

В этом случае поляризуемость молекулы будет задаваться тензором поляризуемости . Тогда вектор дипольного момента будет связан с вектором напряженности электрического поля соотношением: . В общем случае вектора дипольного момента и напряженности поля не параллельны. Для простейшего случая молекулы с осевой симметрией, например молекулы кислорода , в системе координат, где ось z совпадает с осью симметрии молекулы, имеются только две различающиеся компоненты тензора и ( ). Остальные компоненты равны нулю.

§32 Поляризация газообразных и жидких диэлектриков

В газообразных и жидких диэлектриках молекулы не фиксированы, они могут вращаться, перемещаться на расстояния большие межмолекулярных. Если подобные диэлектрики оказываются в электрическом поле, то все дипольные моменты молекул стремятся сориентироваться по направлению поля. В диэлектрике со сферически симметричными молекулами (атомы инертных газов) индуцированный дипольный момент каждой молекулы всегда параллелен полю, так как при хаотическом движении с тепловыми скоростями при столкновениях разориентированный момент восстанавливает свою ориентацию за очень короткое время с. В диэлектрике с неполярными молекулами, у которых нет сферической симметрии, индуцированный дипольный момент за счет их хаотического движения может быть разориентирован.

В диэлектрике с полярными молекулами их дипольные моменты стремятся сориентироваться по полю, столкновения же с другими молекулами при тепловом движении разориентируют их. Среднее значение проекции дипольного момента на направление поля для всех молекул диэлектрика не будет равно нулю – ориентационная поляризация. Кроме ориентационной поляризации будет происходить и электронная поляризация, которая наблюдается в любом случае.

Мы можем определить вектор поляризованности диэлектрика в произвольной точке как предел отношения суммы дипольных моментов молекул в объеме , включающем эту точку, к , при стремлении последнего к нулю:

. (32.1)

Используя это общее определение, можем записать:

, (32.2)

где - концентрация молекул, - средний дипольный момент одной молекулы в направлении электрического поля.

Поляризованность диэлектрика пропорциональна полю в нем , причем это поле уже является суперпозицией внешнего поля и поля, созданного ориентированными диполями всего диэлектрика, в отличие от рассмотренного выше случая поляризации отдельной молекулы в электрическом поле. Коэффициент пропорциональности в выражении называется электрической восприимчивостью диэлектрика.

Для газа из полярных молекул, взаимодействием между которыми можно пренебречь, определим поляризованность, воспользовавшись распределением Больцмана. Концентрация частиц в потенциальном поле зависит от их потенциальной энергии следующим образом:

.

В нашем случае для потенциальной энергии молекулы с дипольным моментом , составляющим с вектором угол

.

Вклад в поляризованность молекул у которых угол между векторами и лежит в диапазоне от до будет равен:

.

Полную поляризованность определим после интегрирования в пределах от 0 до :

.

Электрическая восприимчивость полярного газообразного диэлектрика будет равна:

. (32.3)

Эта зависимость называется законом Кюри. С ростом температуры хаотическое движение молекул увеличивается, электрическая восприимчивость падает.

Газы и жидкости, состоящие из полярных молекул, являются изотропными средами. При включении электрического поля появляется незначительная анизотропия свойств из-за преимущественной ориентации диполей по направлению электрического поля. Однако она весьма мала. В частности, обнаружить связанную с ней анизотропию показателя преломления очень трудно, не говоря уже о ее практическом использовании.

Окружающий нас мир, однако, очень многообразен и среди жидкостей из полярных молекул встречаются такие, что в них, в пределах макрообъема с характеристическим размером ~10 мкм, называемым доменом, дипольные моменты ориентируются параллельно (жидкий аналог твердого сегентоэлектрика). Мы можем говорить о дипольном моменте домена. В отсутствие поля дипольные моменты доменов ориентированы произвольно, так что поляризованность равна нулю. При включении даже слабого поля все домены ориентируются по полю, и мы получаем гигантскую поляризованность. Свойства такой жидкости оказываются существенно различными в направлении поля и в направлении перпендикулярном полю. Подобные жидкости называются жидкими кристаллами.

Практическое использование жидких кристаллов довольно широко. Рассмотрим их использование в жидкокристаллических дисплеях для отображения информации.

Самое простое использование основано на зависимости коэффициента отражения света жидким кристаллом от ориентации молекул в нем. Если они не ориентированы, то падающий свет частично поглощается, частично отражается от поверхности. Мы видим ее серой. Если все молекулы в небольшом объеме (пиксел дисплея) сориентировать параллельно поверхности, то свет будет почти полностью поглощаться, отражения не будет. Данный пиксел будет восприниматься нами как черное пятно. Подобные дисплеи называются пассивными, поскольку работают на отраженном свете.

В активных дисплеях используется другое свойство жидких кристаллов: при пропускании линейно поляризованной световой волны в направлении поляризованности, плоскость, в которой колеблется вектор , вращается. Толщина слоя жидкого кристалла выбирается такой, чтобы это вращение было на угол . В многослойной структуре дисплея свет источника проходит первый поляризатор, становится линейно поляризованным, проходит через слой ориентированного в постоянном поле жидкого кристалла. При этом вектор световой волны поворачивается на угол , попадает на второй скрещенный поляроид и излучается из экрана. В цветном дисплее каждый пиксел состоит из трех монохромных (красный, зеленый, синий), управляемых независимо. Монохромный свет получается из белого света источника с помощью светофильтров. Для того, чтобы получить черную точку в определенном пикселе, необходимо разориентировать жидкий кристалл во всех трех монохромных пикселах с помощью дополнительного (управляющего) электрического поля. Тогда свет через второй скрещенный поляризатор не пройдет. Для получения градации каждого цвета управляющее напряжение на пикселе можно менять (обычно с помощью скоростного 8 битного ЦАП получают 256 уровней яркости каждого цветного пиксела). Если управляющее напряжение меньше максимального, то поляризованность жидкого кристалла не исчезает полностью, плоскость колебаний вектора световой волны поворачивается на угол меньший и свет частично проходит через второй скрещенный поляризатор.

§33 Однородно поляризованный изотропный диэлектрик

Рассмотрим изотропный диэлектрик в однородном электрическом поле. Для определенности будем считать, что поле создано между обкладок плоского конденсатора, а почти все пространство между ними заполнено изотропным диэлектриком толщиной (рис.33.1).

Рис.33.1

При поляризации диэлектрика диполи сориентируются по полю. Для столбика с основанием и высотой (рис.33.1b), поляризованность равна:

, (33.1)

где - дипольный момент одной молекулы. Кроме этого для простоты взяли основание, в котором находится одна молекула. Поляризованность диэлектрика в этом случае будет однородной и равной поверхностной плотности связанных зарядов, которые появились на противоположных гранях пластины.

Теперь определим электрическое поле в диэлектрике:

,

оно складывается из поля, созданного зарядами на обкладках , и поля, созданного связанными зарядами на поверхности диэлектрика . Направление этих полей противоположное, поэтому

.

Откуда

.

На рис.33.1а поле в зазоре между диэлектриком и пластиной равно , а поле в диэлектрике в раз меньше: . Параметр называется диэлектрической проницаемостью.