Дифференциальные методы

В математике XVII в. наряду с интеграционными методами складывались и методы дифференциальные. Методы, содержащие элементы дифференцирования, вырабатывались при решении задач, которые в настоящее время решаются с помощью дифференцирования. В XVII веке рассматривали задачи трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций и отыскание условий существования у алгебраических уравнений кратных корней. К этой группе задач тесно примыкают задачи механики, вытекающие из необходимости в случае неравномерных движений определять скорость в любой точке траектории, не говоря о более сложных задачах.

В течение XVII в. дифференциальные задачи решались еще самыми различными методами. Использовались геометрические построения в духе античных математиков, механические соображения, исследования в духе новой тогда аналитической геометрии Декарта, инфинитезимальные соображения.

Поэтому больше перспектив для определения касательных и нормалей в то время представлял метод нормалей Декарта, содержащийся во второй книге его «Геометрии» (изд. 1938, стр. 50 и далее). Пусть необходимо провести нормаль к алгебраической кривой в точке (а, b) и пусть это осуществлено. Нормаль пересечет ось абсцисс в точке, координаты которой пусть будут (с, о). Семейство концентрических окружностей с центром в (с, о) содержит одну окружность радиуса R = √(a-c)2+b2, которая имеет с кривой две общие точки, слившиеся в одну, именно точку (а, b). Одно из двух неизвестных, например у может быть исключено из уравнений данной кривой и окружности. Так как х=а — двойной корень, то уравнение должно получиться при этом вида (х—а)Р(х)=0. Это дает возможность определить величину с с помощью метода неопределенных коэффициентов. Для этого Декарт приравнивает левую часть полученного уравнения произведению (х—а)2 на многочлен степени на две единицы меньше и с неопределенными коэффициентами. Сравнение коэффициентов при членах одинаковой степени дает уравнения, откуда определяется с.

Накопление элементов дифференциального исчисления наиболее явную форму приняло у Ферма. В 1638 г. он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции f(x). Ферма составлял уравнение (f(x+h) – f(x))/h=0 и после преобразований в левой части полагал h=0. Вопреки мнению позднейших исследователей, которые видели в этом идеи исчисления бесконечно малых, в действительности Ферма нашел это условие и аналогичное (f(y)-f(x))/(y-x)|y=x = 0 еще алгебраическими путями.

Рассуждения тут примерно такие: дана f(х)=0; найти экстремум.. Пусть для некоторого х функция достигает максимума.

Тогда f(x±h)<f(x), f(x)±Ph +Qh2±...<f(x). Вычитаем из обеих частей по f(x) и делим на h: ±P±Qh±:...<0. Так как h можно выбрать любой малости, член Р будет больше по модулю суммы всех остальных членов. Неравенство поэтому возможно лишь при условии Р=0, что и дает условие Ферма. В случае минимума рассуждения аналогичные. Ферма знал также, что знак Q определяет характер экстремума.

Так же близок к дифференциальному исчислению метод Ферма отыскания касательных к алгебраическим кривым. На малой дуге MN алгебраической кривой f(x)=0 путем проведения секущей SMN строится характеристический треугольник MNP. ΔMNP~ΔMRS. Отсюда SR=MR·MP/PN, или в более привычных нам символах SR = f(x)h/(f(x+h)-f(x)). Затем Ферма переходит от секущей к касательной, полагая h=0, получая тем самым St= y/y´. К сожалению, Ферма не стремился публиковать свои работы. Ему было достаточно научной переписки. Притом он пользовался трудно доступными для понимания алгебраическими средствами Виеты с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому не сделал он последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциального исчисления.

К середине XVII в. накопился достаточно большой запас средств решения задач, ныне решаемых с помощью дифференцирования. Однако не было еще выделено особой операции дифференцирования, понятий, равнозначных понятиям производной и дифференциала. Не была ясна связь дифференциальных и интеграционных методов. Математический анализ формировался в рамках и в терминах алгебры, геометрии, механики — сложившихся уже к тому времени наук. Так всякое новое математическое исчисление всегда проходит период формирования в пределах уже существующей системы математических наук, используя их средства.

ПОЯВЛЕНИЕ АНАЛИЗА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

Во второй половине XVII в. начала складываться новая область математики — анализ бесконечно малых. Его появление, как мы видели, было предчувствовано многими учеными Оно революционизировало всю математику, превратив ее в математику переменных величин. Первым этапом существования анализа было формирование дифференциального и интегрального исчисления. Последнее возникло как самостоятельный отдел математики почти одновременно в двух разновидностях: в виде теории флюксий в трудах И. Ньютона и в виде исчисления дифференциалов Г. В. Лейбница.

Теория флюксий. Наиболее ранней формой анализа является теория флюксий, открытие которой принадлежит И. Ньютону (1642—1727). Основными направлениями научной деятельности Ньютона были физика, механика, астрономия и математика. Ему принадлежат в этих областях науки первоклассные достижения, в том числе: вывод и формулировка основных законов классической механики, открытие закона всемирного тяготения, законов спектрального разложения света, разработка дифференциального и интегрального исчисления в форме метода флюксий. Математика в системе научных воззрений Ньютона занимала место части общей науки о природе — натуральной философии — и орудия физических исследований. В качестве математического аппарата механики, который учитывал бы движение и охватывал связанные с ним понятия скорости и ускорения, Ньютон разработал метод, названный им методом, или теорией, флюксий. В методе флюксий изучаются переменные величины, вводимые как абстракции различных видов непрерывного механического движения. Называются они флюентами, т. е. текущими, от латинского слова fluere — течь. Все флюенты являются зависимыми переменными; они имеют общий аргумент — время. Точнее, речь идет о математическом абстрагированном аналоге времени — некоей воображаемой абстрактной равномерно текущей независимой величины, к которой отнесены все флюенты. Это, разумеется, не осложняет задачи Ньютона, так как не стесняет при соотнесении переменных в задачах. Далее вводятся скорости течения флюент, т. е. производные по времени. Названы они флюксиями. Так как флюксия представляет собой переменную, то можно находить флюксию от флюксии и т. д. Символы первой, второй и т. д. флюксий, если флюенту обозначить y, будут: у, y, у и т. д. Для вычисления мгновенных скоростей — флюксий потребовались бесконечно малые изменения флюент, названные Ньютоном моментами. Символ момента времени 0; момент флюенты у, следовательно, запишется: Оу, т. е. произведение мгновенной скорости на момент времени. По существу момент флюенты — это ее дифференциал. Иногда, когда рассуждения исходят из заданной флюксии, обозначенной, допустим, у, вводятся специальные символы флюент: 'у, или y (символ, указывающий на квадратуру). Символы Ньютона не так удобны, как символы дифференциалов, ведущие свое происхождение от Лейбница и распространенные в наше время. Однако они еще сохранились, например, в механике.

В теории флюксий решаются две главные задачи, сформулированные как в механических, так и в математических терминах: 1. Определение скорости движения в данный момент времени по заданному пути. Иначе: определение соотношения между флюксиями из заданного соотношения между флюентами. 2. По заданной скорости движения определить пройденный за данное время путь. В математических терминах: определить соотношение между флюентами по заданному соотношению между флюксиями. Первая задача, так называемая прямая задача теории флюксий, представляет задачу дифференцирования неявной, в общей постановке, функции и получения дифференциального уравнения, выражающего элементарные закономерности природы. Вторая — обратная задача теории флюксий — есть задача интегрирования дифференциальных уравнений, поставленная в самом общем виде. В частном виде в этой задаче речь идет о нахождении первообразных функций. Таким образом, интегрирование в теории флюксий вводится вначале в виде неопределенного интегрирования. Для прямой задачи Ньютон ввел единообразное правило — алгоритм дифференцирования функций. Поясним его, вслед за Ньютоном, на примере. Дано соотношение между флюентами: х3—ах2 + аху—у3=0. Образуем то же соотношение для флюент, испытавших мгновенные изменения, т. е. когда к каждой флюенте добавлен ее момент:

(х+х0)3 — а (х+х0)2+а (х+х0)(у+у0) — (у+у0)3 = 0. Выполнив преобразования по формуле бинома, разделим на 0 и отбросим все члены с бесконечно малыми моментами, получим соотношение между флюксиями 3х2х — 2ахх+аух+аху—Зу2у = 0.

Дальнейшие усовершенствования дифференциального исчисления: дифференцирование неполиномиальных функций, отыскание экстремумов функций, геометрические и механические приложения — принципиальных трудностей для Ньютона не представили. Флюксии от иррациональных функций получаются по правилу дифференцирования сложной функции. В более сложных случаях он прибегал к представлению функций степенными рядами и к оперированию с этими рядами. Класс функций, которым располагал Ньютон, был еще сравнительно ограниченным; внутри него подобное представление функций не вызывало сомнений. Тем не менее, соображения о сходимости ряда и о правомерности представимости той или иной функции рядом постоянно были в поле зрения Ньютона.

Обратная задача теории флюксий: нахождение соотношения между флюентами по известному соотношению между флюксиями — по своей постановке чрезвычайно обща. Она, как мы указывали, эквивалентна общей задаче об интегрировании любых дифференциальных уравнений. Подходы Ньютона к решению столь общей проблемы и приемы решения складывалисьпостепенно. Прежде всего простое обращение результатов нахождения флюксий дало ему огромное количество квадратур. Со временем он обнаружил необходимость дописывать при этом обращении аддитивную постоянную. Затем оказалось, что операция обращения даже сравнительно простых уравнений вида Mx + Ny = 0 получающихся при вычислении флюксий, не всегда возможна и не дает исходную функцию. Ньютон обнаружил это, рассматривая те случаи, где М=М(х, у) и N=N(x, у) целые рациональные.

Когда непосредственное обращение прямого метода не приносит успеха, Ньютон прибегает к разложению функций в степенные ряды как к универсальному средству теории флюксий. 1 X*, X1

Аппарат представления функций степенными рядами, в который включаются, кроме упомянутых, много других частных приемов, является оперативной основой ньютоновой теории флюксий. Он позволяет проводить дифференцирование и интегрирование широкого класса аналитических функций, вычислять экстремумы функций, получить много примеров приложения методов теории флюксий к геометрии, механике и другим наукам.

Ньютон получил большинство результатов теории флюксий в течение 60—70-х годов XVII в. Однако он не спешил с публикацией написанных им на эту тему работ. Он неохотно давал согласие на публикацию даже тогда, когда вспыхнул спор о приоритете открытия дифференциального и интегрального исчисления между ним и Лейбницем. Более того, его знаменитые «Математические начала натуральной философии», появившиеся в 1686—1687 гг., оказались написанными без применения методов теории флюксий, хотя многие из приведенных в этой книге результатов первоначально были получены средствами этой теории. Причиной такого положения дел была, помимо несовершенства методов решения обратных задач, недостаточная логическая обоснованность теории флюксий. Введение в математику переменных величин, оперирование с бесконечно малыми приводит к необходимости рационального объяснения большого числа связанных между собой основных понятий и проблем. Ньютон это хорошо понимал, но справиться с подобными затруднениями не мог. Взгляды Ньютона на обоснование теории флюксий менялись. Выше мы указывали, что исходные позиции теории флюксий лежат в механике. Это позволяет сдвинуть в механику противоречия, возникающие при толковании основных понятий этой теории. Однако оперативная сторона дела существенно предполагает отбрасывание бесконечно малых. Доказать законность такой операции, выявить таинственную сущность этих величин, не являющихся ни нулями, ни конечными величинами,— эта задача не решалась имевшимися в распоряжении Ньютона средствами. В поисках выхода Ньютон создал метод первых и последних отношений — раннюю форму теории пределов. Он изложил его в «Математических началах натуральной философии», первый отдел первой книги которых так и называется: «О методе первых и последних отношений, при помощи которого последующее доказывается».

Метод состоит в рассмотрении предельных отношений едва- едва зарождающихся (первые отношения) или только-только исчезающих (последнее отношение) величин. Несмотря на не- неудачную терминологию, связанную с понятиями «едва-едва» и «только-только», Ньютон сумел изложить основные теоремы о пределах и бесконечно малых, лежащие и поныне в основании курсов математического анализа. Так, им доказаны теоремы о пределах отношений длины дуги непрерывной гладкой кривой к хорде и к касательной. Понятие предела, в каком бы оно виде ни появлялось, есть понятие неалгоритмическое. С ним невозможно связать последовательность операций, эффективно приводящих к его нахождению. От условно оценочной трактовки предела (пусть задано, е >0. Тогда найдем такое 6 >0, что и т. д.) Ньютон тоже был далек; она приобрела права гражданства лишь в самом конце XIX в. Разрыв между оперативно-алгоритмической стороной теории флюксий и ее логическими основами остался неустраненным.

Теория флюксий знаменовала тот этап развития анализа бесконечно малых, когда он, по выражению К. Маркса, «существует, а затем разъясняется», а в своих основах является таинственным, «мистическим». Дальнейшая судьба теории флюксий связана с острой борьбой, вспыхнувшей сразу же после появления этой теории именно вокруг ее основ.

Исчисление дифференциалов. Как было выше сказано, анализ бесконечно малых возник почти одновременно в двух разных, независимых друг от друга формах. Первой по времени изобретения была ньютонова теория флюксий. Однако первые публикации по математическому анализу были посвящены другому виду исчисления — исчислению дифференциалов. Автор нового исчисления Г. В. Лейбниц (1646—1716) родился в Лейпциге в семье профессора местного университета по кафедре философии и морали. Образование получил в университетах Лейпцига и Йены. Всю жизнь состоял на службе у германских государей: майнцского курфюрста, а затем ганноверского герцога. Выполняя дипломатические поручения, Лейбниц посетил Париж и Лондон, где вступил в научное общение с виднейшими учеными. За научные заслуги он был избран членом Лондонского королевского общества (1673) и Парижской академии наук (1700). Лейбниц основал Берлинскую академию, а также оказал положительное влияние на развитие науки в России: он был знаком с царем Петром I, переписывался и беседовал с ним, обсуждал проекты организации Академии наук в Петербурге и развертывания научных исследований в России.

Математические работы Лейбница, которые нас интересуют в первую очередь, находятся в тесной связи с его философскими воззрениями. Мы не имеем возможности подробно описывать философские позиции Лейбница и их эволюцию от сочувствия: механическому материализму до своеобразной разновидности метафизического объективного идеализма. Отметим лишь, что во всех различных по содержанию математических занятиях он исходил из одной цели. Цель эта философская: создание универсального метода научного познания, по терминологии Лейбница — всеобщей характеристики.

Всеобщая характеристика должна заменить все логические суждения исчислением, производимым над словами и другими символами, однозначно отражающими понятия. Она такими образом, мыслится как некоторый общий логико-математический аппарат суждений. Математика- при этом приобретает расширенное толкование как наука об отображении всевозможных видов связей и зависимостей простейших элементов. Современная Лейбницу математика должна была, по его замыслу, войти в будущую общую математику. Он видел идеал, по его словам, в «подчинении алгебры комбинаторному искусству, или буквенной алгебры общей буквенной науке, или науке о формулах, выражающих вообще порядок, подобие, отношение и т. п., или общей науки о количестве —общей науке о качестве,так что наша буквенная математика становится только замечательным образчиком комбинаторного искусства или общей буквенной науки».

Установление всеобщей характеристики и открытие закономерностей новой математики решит проблему научного доказательства и устранит разногласия, так как вместо споров понадобится лишь произвести вычисления. Зерна новой математики хранятся в старой. Последнюю нужно изучить, выбрать из нее и поставить проблемы, относящиеся к разработке бесконечных процессов, с которыми не может справиться алгебра, создать новые алгоритмы. Этим алгоритмам необходимо придать по возможности совершенную символику, отражающую сущность понятий или операций. Выбору символики Лейбниц придавал огромное значение: «Следует заботиться,— писал он,— о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это большей частью бывает, когда обозначения коротко выражают и как бы отображают интимнейшую сущность вещей. Тогда поразительным образом сокращается работа мысли». Оперативное значение новых алгоритмов возрастет, если они будут механизированы.

Таковы в основном были исходные установки Лейбница. Они определили направление и характер его математических занятий, приведших к открытию дифференциального и интегрального исчисления. До 1673 г., до поездки в Париж, Лейбниц много занимался комбинаторными задачами, видя в них математическую основу логики. В Париже он встречался с Гюйгенсом и тот ввел его в курс инфинитезимальных проблем математики. Гюйгенс же поставил перед Лейбницем ряд задач, связывающих эти проблемы с комбинаторикой. Решив одну из задач Гюйгенса о нахождении сумм чисел вида 1/k(k+1), Лейбниц нашел также суммы некоторых рядов. При этом он широко использовал паскалев арифметический треугольник и конечные разности высших порядков. В этот подготовительный период им были основательно проштудированы сочинения Декарта, Кавальери, Валлиса, Паскаля, Гюйгенса и др.

Примерно с этого времени в бумагах Лейбница все чаще встречается применение характеристического треугольника Паскаля для решения задачи о проведении касательной к кривой. При этом он постепенно приходит к мысли о возможности суммирования разностей (dx и dy), образующих стороны характеристического треугольника. К суммам этих малых разностей приводят и задачи о квадратурах. Лейбниц, усмотрев это обстоятельство, высказал предположение, что решение обратных задач на касательные полностью или в большей части можно свести к квадратурам. Таким путем, не зная работ Барроу и Ньютона, но, как и они, исходя из обратных задач на касательные, Лейбниц открыл взаимообратную связь между методами проведения касательных (в последующем операции дифференцирования) и квадратурами (позднее интегрированием). Тогда же он высказал мысль, эквивалентную тому, что делал Ньютон,— что сводка результатов дифференцирования путем простого оборачивания может быть полезна при интегрировании функций.

Так, в чисто математическом плане лейбницево исчисление складывалось в общих чертах из следующих посылок: а) Задачи суммирования рядов (с 1673 г.) и привлечение систем конечных разностей; б) Решение задач о касательных, характеристический треугольник Паскаля и постепенный перенос соотношений между конечными элементами на произвольно, а затем бесконечно малые; в) Обратные задачи на касательные, суммирование бесконечно малых разностей, открытие взаимообразности дифференциальных и интеграционных задач (примерно к 1676 г.). Все эти годы Лейбниц предпринимал многочисленные попопытки создать удобную символику. Он приходит к мысли о символе d (сокращение слова differentia — разность) для обо- обозначения бесконечно малой разности. Вслед за Кавальери и Паскалем он представлял интеграл как сумму «всех» ординат, которых бесконечно много, и записывает его символом или чаще omnl. Позднее он заменил отп на J, исходя из начальной буквы слова Summa.

Через посредство Ольденбурга (1615—1677), секретаря Лондонского королевского общества, Лейбниц завязал (1676—1677) переписку с Ньютоном. В письмах он сообщал свои результаты и стремился узнать больше о методах и результатах И.Ньютона. В основном речь шла о способах разложения функций в ряды и о решении обратных задач на касательные. Корреспонденты хорошо понимали друг друга, осознали близость своих целей и выводов. Без большого труда они разгадывали сущность методов, применяемых соперником. Переписка прекратилась, к сожалению, вскоре, так как Ньютон перестал отвечать на письма. Казалось бы, эта переписка ускорит публикацию нового исчисления. Однако Лейбниц, как и Ньютон, не спешил с этим. Он работал над усовершенствованием методов исчисления и над обоснованием, стремясь оправдать его появление или логически строгой дедукцией, или достаточно большим количеством новых результатов и практических достижений. Только в 1684 г. в лейпцигском журнале «Acta Eruditorum» Лейбниц опубликовал первый мемуар об анализе бесконечно малых: «Новый метод максимумов, минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины и особый для этого род исчисления». Мемуар этот невелик, менее 10 страниц. В нем нет доказательств. Но дифференциальное исчисление в нем впервые на страницах научного журнала появляется как объект математического исследования в виде, во многом напоминающем современную его структуру.

Дифференциал аргумента — dx — принят за совершенно произвольную величину. Дифференциал функции — dy — определен равенством dy=ydx/St где St— подкасательная к кривой в точке (х, у). Введены символы: dx и dy. Сформулированы правила дифференцирования постоянной величины, суммы функций, разности, произведения, частного, степени, корня. Отмечена инвариантность вида первого дифференциала от выбора аргумента. Дифференциалы понимаются вначале как величины, пропорциональные мгновенным приращениям величин. Правда, позднее дифференциалы вновь определяются как бесконечно малые разности.

Мемуар 1684 г. был трактатом о дифференциальном исчислении. Через два года, в 1686 г., вышло в свет другое сочинение Лейбница «О глубокой геометрии» («De geometria recondita»), в котором сосредоточены правила интегрирования многих элементарных функций. Для обозначения операции интегрирования введен символ ∫, истолковываемый как сумма дифференциалов, а также подчеркнута его взаимообратность с операцией дифференцирования. В том же году Лейбниц разрабатывает основы теории соприкосновения кривых, вводит соприкасающийся круг и применяет его к измерению кривизны.

Анализ бесконечно малых вышел, таким образом, из стадии формирования и заявил о себе как о новой математической науке, сразу же продемонстрировав необычайную плодотворность. Активная пропаганда нового исчисления со стороны Лейбница и его учеников и последователей, среди которых сразу же выделились братья Бернулли: Яков (1654—1705) и Иоганн (1667—1748), способствовала также его бурному распространению. А поток новых открытий Лейбница не иссякал. В 1693 г. он распространил новое исчисление на трансцендентные функции путем разложения их в ряды с помощью метода неопределенных коэффициентов. Эту группу результатов он изложил в статье с характерным для публикаций XVII и XVIII вв. длинным заголовком: «Дополнение практической геометрии, распространяющееся на трансцендентные проблемы с помощью нового наиболее общего метода бесконечных рядов». В последующих работах Лейбница охвачены по существу все начальные отделы дифференциального и интегрального исчисления. Так, в 1695 г. он опубликовал правило дифференцирования общей показательной функции и формулу многократного дифференцирования произведения dm(хy)=dmx·d°y+ m dm-1x.dy +... Тогда же ему удалось обобщить понятие дифференциала на случаи отрицательного и дробного показателя. В течение 1702—1703 гг. были разработаны приемы интегрирования рациональных дробей.

С помощью нового исчисления математикам конца XVII— начала XVIII в. удавалось решать быстро возрастающее число трудных и практически важных задач. Лейбниц и в этом роде деятельности проложил дорогу. В 1691 г., например, он установил форму, которую принимает подвешенная за концы тяже- тяжелая гибкая однородная нить, и вывел уравнение цепной линии. С 1696 г. его занимают новые задачи — вариационные. Он решил задачу о брахистохроне — кривой кратчайшего спуска, нашел метод решения задач о геодезических линиях. Символика и термины Лейбница оказались очень хорошо продуманными; они были несложными и отражали существо дела, помогали пониманию и позволяли оперировать с ними по сравнительно простым правилам. Многие из них дошли до наших дней. От Лейбница.ведут свое происхождение термины: дифференциал, дифференциальное исчисление, функция, координаты, дифференциальное уравнение, алгоритм (в смысле, аналогичном современному пониманию) и многие другие, а также большая часть символов. Практические успехи и разработанность исчисления достигли такого уровня, что в конце века (1696) появился первый учебник дифференциального исчисления и его приложений к геометрии: «Анализ бесконечно малых» Лопиталя. Практическая ценность исчисления Лейбница, оперативная простота привлекали к нему внимание ученых. Оно быстро де- делалось центром всей математики, основным орудием исследования в руках ученых. Но в нем было слабое место: оставалось неясным, какое рациональное объяснение можно дать основным понятиям, опирающимся на бесконечную близость, бесконечную малость или бесконечную протяженность процесса. В рукописях и статьях Лейбниц постоянно возвращается к нерешенной проблеме обоснования анализа бесконечно малых. Попыток он предпринял много, с самых разных исходных позиций. У него можно найти: а) трактовку бесконечно малых как неархимедовых величин; б) привлечение интуитивно воспринимаемой потенциальной бесконечной малости; в) ссылки на античный метод исчерпывания и сведение всех трудностей к нему; г) постулирование возможности замены отношения бесконечно малых отношением конечных величин; д) неразвитые представления о пределе, стремлении к нему; е) введение в рассуждения, в качестве опоры, непрерывности, будто бы присущей природе всех вещей.

Однако проблема обоснования анализа бесконечно малых оказалась не под силу Лейбницу, так же как и Ньютону. Основы этой важнейшей части математики, в которой следовали один за другим замечательные достижения, оставались невыясненными, таинственными. В области обоснования новый анализ в течение XVII в. и значительной части XVIII в. переживал «мистический», по меткому выражению К- Маркса, период. Большое место в сочинениях по истории математики этого времени обычно занимает спор между последователями И. Ньютона и Г. В. Лейбница о приоритете открытия дифференциального и интегрального исчисления. В свое время так оно и было; спор приобретал напряженный характер, разрастался до размеров национального соперничества и ссоры, вовлекал в свою сферу огромное количество ученых и даже политических деятелей. Но не все, даже самые громкие споры, самые модные теории, защищаемые самыми фанатичными адептами, имеют в истории самое длительное существование и непреходящее значение. Законы истории неумолимо отражают именно содержательную сторону науки, ее соответствие экономическому строю человеческого общества, существенные связи. Поэтому мы вправе уделить упомянутому спору о приоритете лишь несколько фраз. По-видимому, Ньютон и Лейбниц открыли свои формы исчисления независимо друг от друга. Оба опирались на опыт многочисленных предшественников, в котором накопилось достаточно предпосылок для их открытий. Оба отразили, исходя из разных посылок, общую потребность науки в анализе бесконечно малых. Ньютон, видимо, добился успеха раньше, Лейбниц — несколько позже. Однако приоритет в публикации, преимущества в удобстве алгоритмов и символов, заслуги в активной пропаганде нового исчисления принадлежат Лейбницу

Появление в XVII в. аналитической геометрии, а затем дифференциального и интегрального исчисления создало к концу столетия новое положение в математике. Эти новые области заняли в ней ведущее место. Математика коренным образом изменила свою структуру, сделавшись математикой переменных величин.