Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х2>х1, выполнено неравенство f(x2)>f(x1).
Функция f убывает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х2>х1, выполнено неравенство f(x2)<f(x1).
Точки экстремума:
Точка х0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x) ≤f(x0).
Точка х0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x)≥f(x0).
49. Исследование функций на экстремум с помощью производных высших порядков. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
Экстремумы:
Пусть в точке х = х1 f ҆(x1) = 0 и f ҆ ҆(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.
Если f ҆ (x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если
f ҆ ҆(x1)<0 и минимум, если f ҆ ҆ (x1)>0.
Выпуклость и вогнутость кривой. Точка перегиба:
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной.
|
|
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной перегиба.
Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.
50. Асимптоты
- прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат.
Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .
Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если
Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .