Важную роль в анализе различных связей между объектами, изучаемыми гуманитарными науками играет понятие «бинарное отношение».
ПРИМЕР 1
В истории часто используются так называемые генеалогические древа.
Рис. 1 Древо семьи Павла I
Генеалогическое древо построено на бинарном отношении «Предок-потомок».
ПРИМЕР 2
Формализуем понятие бинарного отношения.
Декартово или прямое произведение:
A X B = {(a,b)|a Î A Ù b Î B}
Говоря простым языком, декартово произведение множеств - это множество всевозможных упорядоченных пар, в которых первый элемент взят из первого множества, а второй – из второго.
Самым известным примером такого произведения является изучаемая в школе координатная плоскость с декартовыми координатами.
Для множеств малой мощности удобным способом наглядного изображения декартова произведение и его подмножеств является таблица (в математике она называется матрицей).
Частным случаем декартова произведения является декартов квадрат
A X A = {(a,b)|a Î A Ù b Î A}
Бинарным отношением на множестве A называется подмножество R декартова квадрата A X A (т. е. подмножество множества всех упорядоченных пар элементов из A). В пределах этого текста xRy будет означать, что (x,y)Î R.
Для наглядного представления отношений используются таблицы (матрицы). Каждый элемент таблицы соответствует упорядоченной паре элементов из A. Элементы таблицы равны 0 или 1, в зависимости от того, входит ли соответствующая пара в отношение(1) или нет (0).
Пример
А={1,2,3} А состоит из натуральных чисел от 1 до 3.
Таблица его декартова квадрата A2 соответствует парам чисел
Обратите внимание, что, в отличие от привычных из школьного курса декартовых координат на плоскости, первая координата соответствует строкам таблицы, то есть изменяется по вертикали.
Отношение R1 – строго меньше
Отношение R2 – равно