Случайная величина называется дискретной, если все её возможные значения можно перенумеровать.
Дискретная случайная величина обычно задаётся рядом распределения, т.е. таблицей вида
х | х 1 | х 2 | ¼ | х n |
р | р 1 | р 2 | ¼ | р n |
Математическое ожидание M[X] (или mx ) дискретной случайной величины X вычисляется по формуле .
Дисперсия D[X] дискретной случайной величины X определяется формулой
.
Чаще дисперсию удобнее вычислять по формуле
.
Среднее квадратическое отклонение s[X] случайной величины Х определяется формулой .
Вероятность попадания дискретной случайной величины на числовой промежуток равна сумме вероятностей значений, попадающих в данный промежуток.
Функция распределения дискретной случайной величины кусочно-постоянная.
8.1. Монету бросают два раза. Случайная величина Х – число выпадений герба. Составить её ряд распределения. Найти M[X], D[X], s[X] и P { X = 0,3 }, P { 0 £ X £ 1,5 }.
8.2. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X] и P { 1 £ X < 2 }, P { 2 £ X £ 4 } дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения. Построить график функции распределения случайной величины Х.
|
|
х | |||||
р | 0,38 | 0,26 | 0,2 | 0,14 | 0,02 |
8.3. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х 1 = 4 с вероятностью р 1 = 0,5, х 2 = 6 с вероятностью р 2 = 0,3 и х 3 с вероятностью р 3. Найти х 3 и р 3 , зная, что M[X] = 8.
8.4. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = 3, а также известны математические ожидания этой величины и её квадрата: M[X] = 2,3, M[X2] = 5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.
8.5. Из орудия ведётся стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,4, при каждом следующем увеличивается на 0,1. Составить закон распределения числа истраченных снарядов, если имеется 4 снаряда. Найти числовые характеристики данной случайной величины.
8.6. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х 1 = 1, х 2 и х 3 , причём х 1 < х 2 < х 3. Вероятности того, что Х примет значения х 1 и х 2 соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения величины Х, если M[X] = 2,2, D[X] = 0,76.
8.7. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X] и
P {– 1 < X £ 2 } дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения. Построить график функции распределения случайной величины Х.
х | –1 | ||||||||
р | 0,3 | 0,1 | 0,1 | 0,4 | 0,1 | ||||
8.8. Найти числовые характеристики M[X], D[X], s[X] и P { £ 1 } дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения. Построить график функции распределения случайной величины Х.
|
|
х | –2 | –1 | |||
р | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
8.9. Дискретная случайная величина Х принимает два возможных значения: х 1 и х 2 , причём х 1 < х 2. Найти закон распределения величины Х, если M[X] = 1,4, D[X] = 0,24, а вероятность того, что Х примет значение х1 равна 0,6.
8.10. Производится ряд выстрелов из орудия с вероятностью попадания 0,8. Стрельба ведётся до первого попадания, но не более 4 выстрелов. Определить примерный расход снарядов на 100 подобных стрельб.