Построение эллипса по точкам. Параметрические уравнения эллипса

Пусть дан эллипс

(1)

Опишем вокруг его центра две окружности, одну—радиу­сом а, другую—радиусом b, причем а > b. Проведем через центр эллипса произвольный луч и обозначим буквой t по­лярный угол этого луча (рис. 49).

Проведенный луч пере­сечет большую окружность в некоторой точке Р, меньшую - в некоторой точке Q. Проведем затем через точку Р пря­мую, параллельную оси Оу, через точку Q—прямую, парал­лельную оси Ох; пусть М —точка пересечения этих прямых, а Р₁ и Q₁ —проекции точек Р и Q на ось абсцисс.

Выразим координаты точки М через t. Из рис.49 легко усмотреть, что

Рис. 49

Таким образом,

Подставляя эти координаты в уравнение (1), убедимся, что они удовлетворяют ему при любом t. Следовательно, точка М находится на данном эллипсе. Итак, мы показали, как построить одну точку эллипса. Проводя ряд лучей и производя указанное построение соответственно каждому из них, мы можем построить столько точек эллипса, сколько пожелаем. Этот прием часто употребляется в чертежной практике (соединяя построенные точки с помощью лекал, можно получить изображение эллипса, вполне удовлетво­рительное с практической точки зрения).

Уравнения (2) выражают координаты произвольной точки эллипса как функции переменного параметра t; таким образом, уравнения (2) представляют собой па­раметрические уравнения эллипса.