Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
y" = f (x, y, y'). (2)
Для уравнения второго порядка, как и для уравнения первого порядка, имеет место теорема существования и единственности (теорема Коши).
Теорема Коши. Пусть правая часть f (x, y, y') уравнения y" = f (x,y,y') и её частные производные (x,y,y') и (x, y, y') определены и непрерывны в некоторой области изменения переменных x, y и y'. Тогда, какова бы ни была внутренняя точка (x0, y0, ) этой области, данное уравнение имеет единственное решение y = j (x), удовлетворяющее начальным условиям:
= . (3)
Задача нахождения решения уравнения y'' = f (x, y, yI), удовлетворяющего заданным начальным условиям, как и в случае уравнения первого порядка, называется задачей Коши.
Дадим теперь определения общего и частного решений уравнения второго порядка, правая часть которого удовлетворяет условиям теоремы Коши в некоторой области G изменения переменных x, y, y1.
Определение. Функция y=f(x,с1,с2), зависящая от аргумента x и двух произвольных постоянных с1 и с2 называется общим решением уравнения y''=f(x, y, yI) в области G, если она удовлетворяет двум условиям:
|
|
1) при любых значениях произвольных постоянны с1 и с2 функции y = j(x, с1, с2) является решением уравнения (2);
2) каковы бы ни были начальные условия (3)
= ,
существуют единственные значения постоянных с10 и с20 такие, что функция y=j(x, с10, с20) являются решением уравнения (2) и удовлетворяют начальным условиям (3).
Всякое решение y=j(x, с10, с20) уравнения (2), получающееся из общего решения y = j(x, с1, с2) при конкретных значениях постоянных с1 = с10, с2= с20, называется частным решением.
Для уравнения n – го порядка yn = f (x, y, yI,…, y(n-1)) (4) имеет место теорема существования и единственности, аналогичные соответствующим теоремам для уравнений первого и второго порядка.