Десятичная система счисления

В десятичной системе счисления q =10 и набор символов включает цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Таким образом, по формуле (1) число 478,53 в в десятичной системе счисления можно представить в виде:

478,53₍₁₀₎=4*10²+7*10¹+8*10⁰+5*10^-1+3*10^-2

По такому принципу можно строить различные системы счисления.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления – это позиционная система счисления с основанием q =2 и символами отображения чисел, состоящими из двух цифр: 0 и 1.

В соответствии с формулой (1) запись числа 10111,101₍₂₎ соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:

10111,101₍₂₎=1*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰+1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3=23,625₍₁₀₎

Восьмеричная система счисления

Это позиционная система счисления с основанием q =8 и символами отображения чисел, состоящими из восьми цифр: 0,1,2.3,4,5,6,7. Число восемь десятичной системы счисления записывается в виде 10₍₈₎, так как является единицей следующего разряда. Числу 478,53₍₁₀₎ будет соответствовать число 736,41₍₈₎, так как

736,41₍₈₎ =7*8²+3*8¹+6*8⁰+4*8^-1+1*8^-2=478,53₍₁₀₎

Шестнадцатеричная система счисления

Это позиционная система счисления с основанием q =16 и символами отображения чисел, состоящими из десяти цифр: 0,1,2.3,4,5,6,7,8,9 и шести букв: А – соответствует числу 10₍₁₀₎, B – числу 11₍₁₀₎, C – числу 12₍₁₀₎, D – числу 13₍₁₀₎, E – числу 14₍₁₀₎, F – числу 15₍₁₀₎. Число 16 в десятичной системе счисления записывается в виде 10₍₁₆₎, а число, например 1DE,87₍₁₆₎=1*16²+13*16¹+14*16⁰+8*16^-1+7*16^-2=478,53₍₁₀₎

Правило перевода из десятичной системы счисления в недесятичную

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода из десятичной системы счисления в недесятичную.

Правило перевода целой части числа

Целую часть десятичного числа необходимо последовательно делить на основание q системы счисления, в которой переводят, до тех пор пока частное не будет меньше делителя. Полученный результат записывается как последовательность последнего частного и остатков от деления в обратном порядке.

Правило перевода дробной части числа

Дробную часть десятичного числа необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части, получаемых произведений, на основание q системы счисления, в которой переводят. Процесс перевода заканчивается, если дробная часть получилась равной нулю или если вычислено заданное количество цифр после запятой. Полученная дробь записывается в виде последовательности целых частей произведений, начиная с первого.

Пример 2. Перевести 165, ₍₁₀₎ в двоичную систему счисления.

Решение:

165∟2

16 82∟2

5 8 41∟2

4 2 40 20∟2

1 2 1 20 10∟2

00 10 5∟2

0 4 2∟2

1 2 1

0

0,25

^* 2

0, 50

^* 2

1,00 Ответ: 165,25₍₁₀₎=10100101,01₍₂₎

Правила арифметических операций в различных