Прямая линия на плоскости

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

План:

1. Различные типы уравнений прямой на плоскости.
2. Связь между типами уравнений прямой на плоскости.
3. Взаимное расположение прямых на плоскости.
4. Угол между двумя прямыми.

Теоретические положения

Прямая линия на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. y= kx + b.

Общее уравнение прямой. Ах + Ву + С = 0

Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку. y-y₁=k(x-х₁).

Уравнение прямой в отрезках.

Основные задачи на прямую

1. Составить уравнение произвольной прямой, проходящей через точку M₁(x₁;y₁). Пусть уравнение искомой прямой

Ах + Ву + С = 0. (1)

Значит, M₁ лежит на этой прямой. Поэтому

Ax₁+By₁ + C = 0. (2)

Вычитая из (1) почленно (2), получаем

A(x-x₁)+B(y-y₁)=0. (3)

Очевидно, при любых А и В уравнению (3) удовлетворяют координаты точки M₁.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные (различные) точки M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; у₂). Уравнение прямой, проходящей через точку M₁(x₁;y₁), имеет вид (3). Так как прямая проходит и через точку М₂, то

А(х₂-х₁)+В(у₂-у₁) = 0, откуда

(4)

3. Угол между двумя прямыми. Рассмотрим на плоскости две прямые

l₁(y = k₁x + b₁) и l₂(y = k₂x +b₂) с углами наклона к оси Ох соответственно φ₁ и φ₂ (рис. 12).

4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Если две прямые l₁ и l₂ лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения:

1) пересекаются (т.е. имеют одну общую точку);

2) параллельны и не совпадают;

3) совпадают.

Если прямые l₁ и l₂ параллельны, то φ₁ = φ₂ и, следовательно, k₁ = k₂, т.е. параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.

Пусть φ= π / 2, т.е. l₁ и l₂ взаимно перпендикулярны. В этом случае k ₂= - 1 / k ₁

т. е. угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.