2015-06-28
1143
Опр. Пучок прямых – совокупность всех прямых плоскости, проходящих через некоторую точку S – центр пучка.
Для задания пучка достаточно задать его центр или две любые прямые пучка.
Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат и заданы уравнения двух различных прямых
(6.1)
(6.2)
которые пересекаются в точке 
. Рассмотрим уравнение
(6.3)
где 
и 
– произвольные действительные числа, не равные одновременно нулю. Покажем, что это уравнение определяет прямую, проходящую через точку S. Перепишем его в виде:
(6.4)
здесь коэффициенты при неизвестных не могут одновременно ровняться нулю. В самом деле, пусть
, 
(6.5)
и, например, 
. Тогда и 
, т.к. из 
следует 
, что противоречит условию пересечения прямых (6.1) и (6.2). Аналогично 
, и равенство (6.5) можно представить в виде: 
, 
откуда 
, что невозможно, т.к. прямые (6.1) и (6.2) пересекаются.
Прямая (6.3) проходит через точку пересечения прямых (6.1) и (6.2), очевидно, т.к. из того, что 
, 
, следует 
. Пусть 
– произвольная точка плоскости, отличная от S. Прямая (6.3) проходит через точку 
:
|
|
|
(6.6)
т.к. отлична от S, то, по крайней мере, одно из чисел, заключенных в скобки в равенстве (6.6), отлично от нуля.
Если 
, то равенство (6.6) можно переписать в виде 
.
Уравнение (6.3) – уравнение пучка прямых, определенного прямыми (6.1) и (6.2).
Если заданы координаты центра пучка , то уравнение пучка имеет вид 
.
Пример 6.1. Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых 
и
a) проходящей через точку 
;
b) параллельной прямой 
.
Решение.
a) Подставив координаты точки 
в уравнение пучка прямых найдем значение и : 
, 
, 
. Пусть 
, 
, тогда подставим эти значения в исходное уравнение пучка прямых 
, 
, 
или уравнение прямой принадлежит пучку прямых и проходит через точку .
b) Преобразуем исходное уравнение 
, используя условие параллельности прямых получаем 
, 
, 
, т.е. 
, 
.
Подставим эти значения в исходное уравнение пучка прямых 
, упрощая получим 
уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых и параллельной прямой .
Ответ.
a) .
b) .
