Решение геодезического четырехугольника

1.1. Исходные данные

Плановое обоснование для разбивки на местности опор мостового перехода выполнено методом геодезического четырехугольника, схема которого представлена на рис. 1. Опорные точки 5, 6, 11 и 12 закреплены на местности по типу временных геодезических знаков в виде столиков для установки теодолита. На каждой точке измерены углы электронным теодолитом 3Та5р, значения которых указаны на рис. 1. Среднеквадратическая погрешность измерения одного угла (паспортная точность теодолита) составляет m = ± 5". На этом же рис.1 в кружках обозначены номера углов № 1,2,3,4,5,6,7,8, в квадратиках номера треугольников № 1, 2, 3, и стороны буквами A,B,C,D,E,F. Для определения допуска на угловую погрешность устанавливается коэффициент значимости t = 1,96 ≈ 2,0, который ограничивает величину фактической погрешности измерений в 95%.

Дирекционный угол линии 5-6 (α56), длина линии A (d 56) и координаты опорной точки 6 (X6, Y6). принимаются каждым студентом индивидуально по номеру варианта (табл. 1), назначаемому преподавателем.

 
 


Рис. 1 Схема геодезического четырехугольника

1.2. Уравнивание углов, вычисление сторон и координат

Уравнивание углов (табл. 2), вычисление сторон (табл. 3) и координат (табл. 4) геодезического четырехугольника выполнить в стандартных ведомостях.

Уравнивание углов. В соответствии с исходными данными (см. рис. 1) в ведомость уравнивания углов (см. табл. 2, колонка 2) выписать углы измеренные. При этом использовать нумерацию углов рис. 1 и соответствующую нумерацию углов в табл. 2 (колонка 1).

Вычислить сумму восьми измеренных углов () и фактическую угловую невязку δф по условию полигона. Оценить точность угловых измерений, сопоставив фактическую и допустимую (δдоп) угловые невязки. При этом использовать следующие формулы:

(1)

где n – количество измеренных углов;

t – коэффициент значимости (см. выше “исходные данные”);

m – паспортная точность теодолита, используемого для измерения углов, (см. выше “исходные данные”).

Если δфδдоп, то продолжить вычисления.

Вычислить суммы углов (см. рис. 1)

β12; β56; β34; β78.

Вычислить невязки f1 и f2 по формулам:

. (2)

По данным вычисления невязок f1 и f2 выполнить оценку точности измерения углов, используя формулы (1). Если каждая невязка f1 и f2 меньше или равна соответствующей допустимой невязке, то продолжить вычисления.

Вычислить поправки в углы по формулам:

. (3)

где n1, n2 и n3 – количество углов использованных при вычислении соответствующей невязки f1, f2 и δф.

Причем, поправки v1 в углы β1, β2 принять со знаком минус, в углы β5, β6 – со знаком плюс, и поправки v2 в углы β3, β4 – со знаком плюс, в углы β7, β8 – со знаком минус. Поправки v3 во все углы принять со знаком противоположным знаку невязки δф.


Таблица 2

Уравнивание углов

№ угла Углы измеренные, β ° ' " Суммы (1+2) (5+6) (3+4) (7+8) Невязки f1= β (1+2) - β (5+6) f2= β (3+4) - β (7+8) Поправки Углы уравновншенные β ° ' " № угла
По условиям β (1+2) = β (5+6) β (3+4) = β (7+8). ± f1/ 4 ± f2/ 4 По условию ∑ β (1-8) = ∑ β т - δ /8 Суммарные поправки, v
                 
  33 54 38 97 08 40 f1 = 97 08 40 - 97 08 36 = + 0 00 04 -1,0 +0,875 -0,125 33 54 37,9  
  63 14 02 -1,0 +0,875 -0,125 63 14 01,9  
  46 40 17 97 08 36 +1,0 +0,875 +1,875 46 40 18,9  
  50 28 19 +1,0 +0,875 +1,875 50 28 20,9  
    f1(доп) =±mt =±2*2 = ±8" ∑ 0,0   ∑ +3,500 β (1+2) = 97 08 39,8 β (5+6) = 97 08 39,8  
  62 35 20 82 51 17 f2 = 82 51 17 -82 51 20 = - 0 00 03 +0,75 +0,875 +1,625 62 35 21,6  
  20 15 57 +0,75 +0,875 +1,625 20 15 58,6  
  31 15 26 82 51 20 -0,75 +0,875 +0,125 31 15 26,1  
  51 35 54 -0,75 +0,875 +0,125 51 35 54,1  
    f2(доп) =±mt =±2*2 = ±8" ∑ 0,00 ∑ +7,000 ∑ +3,500 β (3+4) = 83 51 20,2 β (7+8) = 83 51 20,2  
β (1-8) 359 59 53         ∑ +7,000 β (1-8)=360 00 00  
δф = ∑ β (1-8) - ∑ β т δф =359 59 53–360 00 00 = - 0 00 07 δдоп = ± m t = ±2*2 = ± 11,3"  

Таблица 3

Вычисление сторон (решение треугольников)

№ треу-голь-ника № точки № угла Уравновешенные углы, β ° ' " Sin углов Sin β Вычисленная длина сторон, d, м Поправки в длины сторон, м Исправлен-ная длина сторон, d, м Обозначение сторон
                 
    6+7 81 43 47,0 0,98960054 492,480   492,480 А
    51 35 54,1 0,78367569 390,000 0,000 390,000 E
    46 40 18,9 0,72743652 362,013 0,000 362,013 F
      180 00 00,0          
 
    2+3 125 49 23,5 0,81082695 492,480 0,000 492,480 A
    20 15 58,6 0,34638358 210,386 0,000 210,386 C
    33 54 37,9 0,55789761 338,856 +0,001 338,857 D
      180 00 00,0          
 
      50 28 20,9 0,77131889 338,856 +0,001 338,857 D
  4+5 66 56 17,5 0,92008283 404,211 +0,001 404,212 B
    62 35 21,6 0,88772970 389,998 +0,002 390,000 E
      180 00 00,0          

fd = E3 – E1 = 389,998 - 390,000 = -0,002 м

vE = - fd = +0.002; vD = vB = = +0,001 м

Таблица 4

Ведомость вычисления координат точек опорной сети

№ то-чек Углы исправ-ленные ° ' " Дирек-ционные углы ° ' " Исправ-ленные стороны d, м Вычисленные прирашения координат, м Поправки, м Исправленные приращения координат, м Координаты, м № то-чек
∆X ∆Y δX δY ∆X ∆Y X Y
                         
  прав                      
    21 55 18,0                    
  46 40 18,9                 2954,980 5068,740  
    155 14 59,1 390,000 -354,175 163,279     -354,175 163,279      
  50 28 20,9                 2600,805 5232,019  
    284 46 38,2 404,212 103,099 -390,842 +0,001   103,100 -390,842      
  296 45 58,1                 2703,905 4841,177  
    168 00 40,1 210,386 -205,797 43,702     -205,797 43,702      
  326 05 22,1                 2498,108 4884,879  
    21 55 18,0 492,480 456,871 183,862 +0,001 -0,001 456,872 183,861      
                    2954,980 5068,740  
β 720 00 00,0   d =1497,078 ∑∆X= -0,002 ∑∆Y= + 0,001 ∑ δX= + 0,002 ∑δY= -0,001 ∑∆X = 0,000 ∑∆Y= 0,000      
           
β т 720 00 00,0     fx = - 0.002 fy = +0.001              
                     
      f (абс) = ± 0.002              
      f (отн, доп) =      
           

Все вычисленные поправки округлить точностью до 0,1". Учитывая знаки соответствующих поправок вычислить суммарные поправки для каждого угла v = v1 + v3; v = v2 + v3.

Исправить измеренные углы βиспр = βизм + v, при этом необходимо учитывать знаки суммарных поправок. Вычисления выполнить с точностью 0,1".

Выполнить контрольные вычисления сумм поправок и сумм углов. Данные уравновешивания углов и контрольных вычислений записать в табл. 2 в соответствующие колонки и строки (см. табл. 2).

Вычисление сторон (решение треугольников). По номерам указанным в квадратиках (см. рис. 1) определить номера треугольников и нумерацию их вершин. В соответствии с номером треугольника установить последовательность их записи в ведомость вычисления сторон (см. табл. 3). Для каждого треугольника в ведомости вычисления сторон (см. табл. 3) установить последовательность нумерации точек, которая должна начинаться с номера угла напротив известной стороны А (см. рис. 1), затем продолжаться номером угла напротив промежуточной стороны и заканчиваться номером угла напротив связующей стороны (стороны принадлежащей двум последовательным треугольникам). Из ведомости уравнивания углов (см. табл. 2) в ведомость вычисления сторон (см. табл. 3) в третью колонку выписать уравновешенные углы. Причем необходимо выписать углы в соответствии с их нумерацией указанной в колонке 2 табл. 3. В случае указанной суммы углов произвести их суммирование. Для каждого треугольника (см. рис. 1) вычислить контрольные суммы углов, которые должны быть точно равны 180°. Установить синусы всех углов треугольников с точностью до 0,000000001.

В соответствии с вариантом решения задачи (см. табл. 1) в ведомость вычисления сторон (см. табл. 3) в соответствующие строки и колонки выписать численное значение исходной стороны A (см. рис.1). В ведомости вычисления сторон (см. табл. 3) последовательно, начиная с первого треугольника, вычислить промежуточные и связующие стороны по формуле:

, (4)

где dвыч – вычисляемая сторона треугольника;

dисх – исходная (известная) сторона треугольника (для первого и второго треугольника сторона А, см. рис. 1 и табл. 3);

Sin βвыч – синус угла треугольника, находящегося напротив вычисляемой стороны (см. табл. 3);

Sin βисх – синус угла треугольника, находящегося напротив известной стороны (см. табл. 3).

Вычисления по формуле (4) сторон (см. рис. 1) E и F в первом треугольнике и сторон C и D во втором треугольнике выполнить по известной исходной стороне А (см. рис. 1 и табл. 3). Вычисление сторон B и E в третьем треугольнике выполнить по стороне D, значение которой установлено из вычислений во втором треугольнике. Сопоставить численные значения стороны E установленные по вычислениям в первом (E1) и третьем (E3) треугольнике. Принять за вероятнейшее значение стороны Е, численное ее значение (E1), полученное из первого треугольника. В этом случае невязку установить по формуле:

fd = E3 – E1. (5)

Вычислить поправки для сторон E и B третьего треугольника и для стороны D третьего и второго треугольников по формулам (см. табл. 3):

vE = - fd; и vB = vD = . (6)

Вычислить исправленные стороны по формуле:

dиспр = dвыч + vd (7)

Данные вычислений записать в соответствующие графы и колонки табл. 3.

Вычисление координат. Исходными данными для вычисления координат точек опорной сети в стандартной ведомости (см. табл. 4) являются уравновешенные углы (см. табл. 2), исходный дирекционный угол (α 56), принимаемый в соответствии с вариантом решения задачи (см. табл. 1), вычисленными длинами сторон (см. табл. 3) и координатами исходной точки 6, принимаемыми в соответствии с вариантом решения задачи (см. табл. 1).

В первую очередь необходимо принять последовательность нумерации точек. Для этого можно использовать следующие варианты (см. рис.1):

5→6→12→11→5→6; (8)

5→6→11→12→5→6. (9)

В качестве примера решения задачи в настоящих методических указаниях принят вариант по последовательности (8) (см. табл. 4).

Из ведомости уравнивания углов (см. табл. 2) в ведомость вычисления координат (см. табл. 4) выписать левые по принятому варианту последовательности нумерации точек уравновешенные углы. Углы будут левыми, если мысленно встать на предыдущую точку, например 5, и повернувшись лицом по направлению последующей точки (точки 6) на этой последующей точке угол будет слева по ходу. В противном случае углы будут правыми. Например, для последовательности (8) углы будут левые, а для последовательности (9) – правые.

Проверить правильность выписки углов путем их суммирования. При этом, поскольку на двух (m = 2) точках 11 и 5 необходимо вычислять левые по ходу углы, как дополнения до 360°, то теоретическая сумма углов будет равна:

. (10)

По принятому варианту решения задачи из табл. 1 в ведомость вычисления координат выписать исходный дирекционный угол (α 56), который записать в соответствующие строки колонки 3 (см. табл. 4).

Вычислить дирекционные углы остальных линий хода по формуле:

для левых углов, принятых по последовательности точек (8)

αпосл = αпред + βлев - 180°; (11)

или для правых углов, если принята последовательность точек (9)

αпосл = αпред + 180° - βправ. (12)

Если при вычислении по формуле (11) αпред + βлев < 180°, то использовать формулу: αпосл = αпред + βлев + 360° - 180°;

и если αпред + βлев - 180° > 360°, то αпосл = αпред + βлев - 180° - 360°.

Если при вычислении по формуле (12) αпред + 180° < βправ, то использовать формулу: αпосл = αпред + 180° + 360° - βправ;

и если αпред + 180° - βправ > 360°, то αпосл = αпред + 180° - βправ - 360°.

Контролем правильности вычисления дирекционных углов служит критерий точного равенства вычисленного дирекционного угла α 56, при последовательном вычислении по формулам (11) или (12) и того же угла, записанного как исходного для линии 5-6 в нижней строке третьей колонки табл. 4.

Из ведомости вычисления сторон (см. табл. 3.) в ведомость вычисления координат (см. табл. 4, колонка 4) по принятой последовательности вычислений (8) или (9) выписать соответствующие стороны. Вычислить приращения координат по формулам:

∆Xi = di Cos αi; (13)

∆Yi = di Sin αi. (14)

Подсчитать в соответствующих колонках табл.4

di; ∑ ∆Xi; ∑ ∆Yi

и вычислить невязки по осям координат:

fx = ∑ ∆Xi - ∑ ∆XТ; (15)

fy =∆Yi - ∑ ∆YТ, (16)

где ∑ ∆XТ = ∑ ∆YТ = 0.

Вычислить абсолютную погрешность:

(17)

и, наконец, относительную погрешность, которая должна удовлетворять неравенству

. (18)

В случае выполнения неравенства (18) можно продолжить вычисления. В противном случае проверить правильность выписки сторон из ведомости их вычисления или правильность вычислений по формулам (13), (14) или вычисления сумм ∑ di; ∑ ∆Xi; ∑ ∆Yi, а также вычисления по формулам (15), (16), (17) и (18).

Определить поправки в приращения координат vx и vy с точностью 0,001 метра. При этом необходимо использовать следующие принципы: знаки поправок должны быть обратными по отношению к знаку невязок, вычисленных по формулам (15), (16); большие численные значения поправок vx и vy должны соответствовать большим численным значениям сторон (d) полигона; сумма поправок ∑ vx или ∑ vy должна быть равна с обратным знаком соответствующим невязкам fx или fy. Если быть точным, то поправки необходимо вычислять по формулам:

, (19)

при точном выполнении условий

vx = - fx; ∑ vy = - fy. (20)

Однако вычисления по формулам (19) небольших численных значений невязок приводят к поправкам, которые могут иметь значащую цифру только в четвертом или пятом разряде после запятой. Такие поправки для практической цели не имеют смысла. Поэтому необходимо выдержать требование округления поправок с точностью 0,001 метра и выше сформулированные принципы. Это достигается путем введения поправок равных 0,001 м в приращения координат только для тех сторон, которые имеют большие численные значения. Для других приращений координат поправки будут равны нулю. В любом случае при определении поправок должны выполняться условия (20).

Вычислить исправленные приращения координат:

∆Xиспр = ∆Xвыч + vx; (21) ∆Yиспр = ∆Yвыч + vy. (22)

Вычислить координаты точек опорной сети:

Xпосл = Xпред + ∆Xиспр (23)

Yпосл = Yпред + ∆Yиспр (24)

Контролем вычисления координат опорной сети является следующее правило: координаты последней точки (исходной), вычисленные при использовании формул (23) или (24), должны быть точно равны координатам той же исходной точки.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  




Подборка статей по вашей теме: