2015-06-28
1001
1. Даны точки А (2; 2), В (-2; 0), С (0; 2). Найдите такую точку D (x; y), чтобы 
и 
были равны.
2. Дан ромб ABCD со стороной 1 и углом А,равным 60°. Чему равна длина суммы векторов:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
?
3. В треугольнике АВС вектор = 
и вектор 
= 
. Постройте каждый из следующих векторов:
а) 
; б) 
; в) 
; г) – .
4. Докажите, что если 
и векторы 
ненулевые и не коллинеарные, то из них можно составить треугольник.
5. В параллелограмме ABCD точка К – середина стороны ВС, М – середина стороны CD. АВ = 
, AD = 
. Разложите по векторам и следующие векторы: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
.
6. При каком значении k векторы 
: а) коллинеарны; б) одинаково направлены?
7. Доказать, что если для ненулевых векторов , , 
выполняются равенства: = + , | | = | |+| |, то векторы , , коллинеарны.
8. Доказать, что если 
, то точки М, В, А лежат на одной прямой.
9. Найдите единичный вектор, коллинеарный вектору 
и одинаково направленный с ним.
10. В трапеции 
отношение оснований 
и 
равно 3:2, диагонали трапеции пересекаются в точке F. Выразить вектор 
через векторы 
= 
и = 
.
11. В треугольнике 
точка 
на стороне 
и точка 
на стороне выбраны так, что | 
|:| 
|= 2: 1, | 
|:| 
= 2: 1. Отрезки 
и 
пересекаются в точке P. Найти 
: 
.
|
|
|
12. Точки R и Q – проекции точки Р, лежащей на стороне АВ равностороннего треугольника ABC, на его стороны АС и ВС. Доказать, что прямая, содержащая медиану РМ треугольника RQP,проходит через центр О треугольника ABC.
13. В параллелограмме ABCD = , 
= . Выразите векторы 
, 
через и .
14. В треугольнике ABC точка М принадлежит стороне АВ,при этом АМ: MB = 2: 1, точки Q, N – на стороне ВС, BQ: QC = 1: 6, BN: NC = 3:2, Р – на стороне АС, АР: PC = 2: 3. Отрезки MN и QP пересекаются в точке О. Найдите МО: ON, РО: OQ.
15. 
, 
, 
, 
. Найдите косинус угла между векторами m и n.
16. Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
17. В правильном треугольнике ABC со стороной равной 1, отрезок с концами Р и М на сторонах АВ и ВС пересекает отрезок ВК,точка К лежит на стороне АС. Найдите угол между прямыми ВК и РМ,если ВР: РА = 1: 2, ВМ: МС = 3: 1, АК: КС = 1: 2.
18. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами А (1; 0), В (3; 3), С (-1; 2), D (3; 8) – трапеция.
19. Докажите, что для любых а, b, с, d имеет место неравенство
.
20. При каком значении х векторы и коллинеарны, если (3- х; 4), (2; 4 +х).
21. Решите неравенство: 
.
22. Даны три вектора 
. Найдите такие числа λ и μ, чтобы выполнялось векторное равенство 
.
23. Даны векторы 
и 
. Найдите абсолютную величину вектора -2 + 4 .
24. Найти угол между векторами и , если | |=4, |2 - 5 |=17, (3 + 2 ) = 42.
25. Найдите длину диагонали АС ромба ABCD, у которого длины сторон равны 1 и угол BAD равен 300.
