Колебательные цепи при гармонических воздействиях Последовательный колебательный контур

Рисунок 1

Рассмотрим режимы, параметры и частотные характеристики последовательного колебательного контура, представленного на рис 1.

1. Режимы работы

Режим работы цепи определяется значениями тока, сопротивлениями элементов и падениями напряжений на них. Для определения тока в цепи составим уравнение по II закону Кирхгофа для комплексных амплитуд:

где:

В зависимости от величины индуктивного сопротивления и

емкостного сопротивления , могут иметь место три случая:

1) х_ь>х_с, тогда х_вх>0, т.е. реактивная составляющая входного сопротивления имеет индуктивный характер;

2)Хь<х_с, тогда х_вх<0, реактивная составляющая входного сопротивления имеет емкостной характер;

3) Хь=х_с, т.е. реактивная составляющая входного сопротивления равна нулю.

Векторные диаграммы тока и напряжений в цепи имеют следующий вид:

X _L>X_C X_L=X_C X_L<X_C

φ>0 φ<0 φ=0

Рисунок 2а Рисунок2б Рисунок2в

Режим цепи, при котором реактивная составляющая входного сопротивления, несмотря на наличие реактивных элементов, равна нулю, называется резонансом. Условие резонанса:

При резонансе:

2. Параметры

В контуре резонанс наступает при определенной частоте ω₀, которая определяется из условия резонанса:

- резонансная частота

,

Важным параметром является характеристическое сопротивление - это сопротивление индуктивности или емкости на частоте резонанса:

Добротность контура: затухание:

Рисунок 3

В радиотехнических устройствах колебательный контур нагружается на активное сопротивление R_н (­входное сопротивление усилительного каскада). Добротность при этом уменьшается, потери увеличиваются. Добротность нагруженного последовательного колебательного конртура:

При резонансе максимальная энергия, накопленная в магнитном поле индуктивности, равна максимальной энергии, накопленной в электрическом поле емкости (но в разное время):

Во время обмена энергиями между емкостью и индуктивностью она частично поглощается в сопротивлении r:

Добротность прямо пропорциональная энергии, которая накапливается в реактивных элементах при резонансе, и обратно пропорциональна энергии потерь в активном сопротивлении контура за период резонансной частоты Т_рез.

3. Частотные характеристики

1) Зависимость входного сопротивления от частоты Z_вх=f()

- активная составляющая входного сопротивления не зависит от частоты. Рассмотримшктивную составляющую х_вх:

Т.к. , то

График х_вх() имеет вид, представленный на рис. 4

Рисунок 4.

При изменении частоты от резонансной ₀ возникает расстройка контура, которая обозначается:

- абсолютная расстройка,

- относительная расстройка.

- обобщенная расстройка.

Определим входное сопротивление через обобщенную расстройку:

Так как:

то можно выразить зависимость модуля Z_ВХ и аргумента входного

сопротивления от частоты в следующем виде:

-АЧХ входного сопротивлен ия (рис 5)

- ФЧХ входного сопротивления (рис 6)

Рисунок 5.

Рисунок 6

2) Зависимость тока в контуре от частоты

Амплитуда тока в контуре

разделим на - значение тока при резонансе, получим нормированное

значение тока:

Это выражение представляет собой закон изменения тока в контуре при изменен ии частоты. Частотная зависимость тока называется резонансной кривой. АЧХ имеет вид резонансной кривой. В области малых расстроек (в пределах полосы пропускания):

АЧХ тока в контуре при различных добротностях приведены на рисунке7(Q1>Q2)

при Q1;

при Q2;

Полосой пропускания ( ) называется т акой интервал частот, на границах которого амплитуда тока падает до уровня, равного от ее

максимального значения на частоте

Рисунок 7

3) Передаточные функции колебательного контура

Рисунок 8а Рисунок 8б

Передаточной функцией называется величина:

При снятии выходного напряжения с емкости

При снятии выходного напряжения с индуктивности

При резонансе:

Вывод: при резонансе в последовательном колебательном контуре напряжение на каждом из реактивных сопротивлений в С2 раз превышает входное напряжение. Колебательный контур обладает свойством усиливать подведенное к контуру напряжение. Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре называется резонансом напряжений/

При расстройке контура:

Где -предельная резонансная характеристика.

Зависимости приведены на рисунке 9.

Рисунок 9

Резонансные кривые напряжения на элементах контура несколько различаются. При малых добротностях (Q<10),т.е. при больших сопротивлениях потерь наблюдаются специфические особенности кривых. Это явление объясняется тем, что максимумы смещаются относительно максимального тока, т.е. :

Значения тока на резонансной низкодобротной кривой при подходе к резонансной частоте изменяются медленно (рис 7), а значение при увеличении частоты от до изменяется значительно (рис 4.). Поэтому максимальное значение произведения стремится в сторону увеличения частоты, т.е. к , вправо от резонансной частоты. В высокодобротных контурах различение между и , и незначительны.

При Q=10:

=0.9975

=1.0025

а максимумы напряжений:

При Q>10можно считать = = и

Рисунок 10

Колебательный контур питается некоторым реальным генератором с конечным внутренним сопротивлением, что может существенно повлиять на избирательные свойства колебательного контура.

Всегда, Qэ<Q т.е. при включении генератора добротность уменьшается; полоса пропускания расширяется и превышает полосу

пропускания контура .Чем больше Ri, тем меньше эквивалентная _п добротность контура Qэ и шире полоса пропускания (рис 11). Кривые зависимости или при данном Q контура называются предельными резонансными характеристиками. Они могут быть реализованы только в том случае, если бы амплитуда напряжения, была бы постоянной, т.е.

Ri ген=0 (идеальный источник напряжения), чего в действительности быть I не может. Поэтому эти характеристики называются предельными.

1- АЧХ при Qк 2- АЧХ контура с Ri Qэ Qк>Qэ

Рисунок 11

- предельная АЧХ тока

Вывод: последовательный колебательный контур целесообразно

применять в том случае, когда внутреннее сопротивление источника

сигнала достаточно мало (Ri>>r).

Пример 1

Дано: L=100 мкГн; С=100 пФ;

r=10 Ом; Ri=lOO Ом (Ri>>r)

Определить: Q_3KB для R;=100 Ом (Ri>>r) и =1 Ом (Ri>>r).

Ответ: Q’_3KB =9; =90

Пример 2

Контур с теми же параметрами питается от генератора с Е=1 В, Ri=l Ом. Определить на частоте резонанса ток в цепи, U_Lp, U_Cp; угол сдвига фаз между током и напряжением на границе полосы пропускания ().

Ответ: =arctg ;