2015-06-28
2471. Даны точки Р (– 2; 3; 4); Q (1; – 4; 5), R (3; –6; 7).
Для них: а) найти координаты векторов 
;
б) найти координаты вектора 
;
в) вычислить длину вектора 
;
г) найти модули и направляющие косинусы векторов 
и 
.
2. Даны точки А (– 2; 1; 3); В (5; – 3; 6), С (1; 0; –2), D(4; – 7; – 1).
Для них: а) найти координаты векторов 
;
б) найти координаты вектора 
и его длину 
;
в) найти координаты вектора 
и его модуль 
;
г) найти направляющие косинусы векторов 
и 
.
3. Проверить, образуют ли векторы 
и 
базис.
(Указание: проверить, являются ли они линейно-независимыми, и сравнить количество векторов с количеством координат).
4. Проверить на линейную зависимость векторы 
и 
.
5. Вектор 
разложить по базису 
, 
6. Дана тройка векторов 
. Убедиться, что они образуют базис, и найти разложение вектора 
по этому базису.
7. Найти разложение вектора 
по базису векторов 
, 
и 
.
8. Даны векторы 
. Найти координаты вектора 
.
9. Даны точки A (1, – 2,3), B (3, 2, 1) и C (6, 4, 4) и D(4; 0; 6). Для них:
а) найти координаты векторов 
;
б) проверить на коллинеарность векторы 
;
в) проверить на коллинеарность векторы 
.
10. При каком t векторы 
= 
+ t 
– 
и 
= 3 + 6 – 3 коллинеарны?
11. Даны вектора 
; 
и 
. Для них:
а) вычислить 
;
б) вычислить 
;
в) найти косинус угла φ между векторами 
и 
.
12. Даны точки N (2; 1; 0); P (– 1; – 3; 4), R (– 5; 3; 1), T (1; – 2; 2).
Для них: а) найти координаты векторов 
; 
и 
;
б) вычислить косинус угла φ между векторами и 
;
в) вектора и проверить на перпендикулярность.
13. При каком 
вектора 
являются взаимно перпендикулярными?
14. Векторы 
составляют угол 
. Известно, что 
. Вычислить значения скалярных произведений 
и 
.
15. Найти проекцию вектора 
на направление вектора 
.
16. Найти проекцию вектора 
на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.
17. Вектор 
коллинеарен вектору 
. Дан вектор 
и известно, что 
. Найти координаты вектора .
18. Даны векторы 
и 
. Найти вектор , перпендикулярный оси 
, и удовлетворяющий условиям 
и 
.
19. Даны вектора 
, 
.
Для них вычислить: а) 
и 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
20. Даны векторы 
и 
. Вычислить модуль векторного произведения 
.
21. Дан треугольник с вершинами А (1; – 1; 2), В (5; – 6; 2) и С (1; 3;–1). Найти: 1) площадь треугольника АВС; 2) длину высоты, опущенной из т. С на сторону АВ.
22. Даны вершины параллелограмма A(1, –2, 3), B(3, 2, 1), C(6, 4, 4) и D(4; 0; 6). Найти длину высоты, опущенной из т. В на сторону СD.
23. Найти синус угла между векторами 
.
24. Вычислить смешанное произведение векторов 
, 
и 
.
25. Даны точки А(2; – 1; 1); В(5; 5; 4), С(3; 2; –1), D(4; 1; 3). Проверить, лежат ли эти точки в одной плоскости.
26. Установить, компланарны ли вектора 
и 
.
27. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах 
.
28. Даны вершины тетраэдра P (1; 1; –1), Q (2; 3; 1), R (3; 2; 1), S (5, 9, –9). Найти длину его высоты, опущенной из вершины Q.
29. Вектор 
перпендикулярен векторам 
и 
. Угол между и равен 
. Зная, что 
, найти 
.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ:
1. а) 
, 
; б) 
; в) 
; г) для 
; для 
.
2. а) 
, 
; б) 
и 
;
в) 
и 
; г) 
;
д) 
.
3. Нет, векторы не образуют базис, т.к. линейно зависимы.
4. Векторы линейно независимы.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. а) 
, 
, 
; б) 
; в) 
.
10. t = 2.
11. а) 
; б) 
; в) 
.
12. а) 
, 
, 
; б) 
; в) не перпендикулярны.
13. = – 6.
14. 
и 
;
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. а) 
и 
; б) = 
; в) = 
;
г) 
и 
.
20. 
.
21. а) 
; б) 
.
22. 
.
23. 
.
24. 
.
25. Точки не лежат в одной плоскости.
26. Вектора не компланарны.
27. 
.
28. 
.
29. 
.
