Определение 7. Пусть имеем прямую на плоскости. Точки М и М' называются симметричными относительно прямой , если отрезок ММ¢ , а его середина М0 . Если точка М ,
Если точка М , то она называется симметричной сама себе относительно прямой .
Определение 8. Преобразование плоскости, которое каждой точке ставит в соответствие симметричную ей точку относительно прямой , называется осевой симметрией с осью .
Осевую симметрию обозначим S .
Выберем прямоугольную декартову систему координат, для которой ось является осью абсцисс.
Тогда
Sa:
формулы осевой симметрии в этой системе координат.
Формулы обратного преобразования будут иметь вид
S : ,
т.е. формулы для обратного преобразования имеют один и тот же вид. Следовательно, это есть одно и то же преобразование:
Sa= S .
Таким образом, осевая симметрия является инвалютивным преобразованием плоскости.
Из уравнения осевой симметрии следует, что неподвижными точками будут только точки, у которых ордината равна нулю. Значит, все точки оси симметрии неподвижны.
|
|
Очевидно, что ось симметрии - неподвижная прямая. Она отображается сама в себя.
Пусть прямая ℓ задана уравнением
ℓ: Ax + By + C = 0.
Тогда ее образ имеет уравнение
S (ℓ): Ax¢ – By¢ + C = 0.
Прямая ℓ будет отображаться в себя при В=0. Это будут прямые, перпендикулярные оси симметрии а. Однако, каждая точка этой прямой не является неподвижной.
3. Поворот плоскости.
Пусть на ориентированной плоскости заданы направленный угол a и точка О.
Определение 9. Преобразование плоскости, заданное следующими условиями:
1) образом точки О является сама точка О,
2) если образом точки М (М¹О) является точка М¢, то
|OM| = |OM’| и Ð MOM¢ = a
называется поворотом плоскости на угол a вокруг точки О.
В дальнейшем пользуемся следующим обозначением поворота вокруг центра О на угол a: R .
Замечание. Если мы имеем два поворота вокруг точки О на угол a и угол a ¢, где
a ¢ = ,
то эти повороты совпадают.
Следовательно, угол поворота можно рассматривать в промежутке [ ].
Аналитическое задание поворота.
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат O задан поворот вокруг точки О на угол :
М ¹ О, М(х, у), М¢(x¢, y¢), Ð ХOM = , ÐMOM¢ = a.
Тогда имеем:
,
,
Известно, что
|OM| = |OM¢|,
поэтому получим
.
Сделав замену, приходим к формулам
. (1)
Формулы (1) определяют поворот плоскости на угол a вокруг точки О в системе координат O .
Замечание. Поворот на угол a = 0 есть тождественное преобразование плоскости.
Действительно, формулы (1) принимаю вид
.
4. Центральная симметрия.
Определение 10. Точки М и М' называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка ММ'. Точка О симметрична сама себе.
|
|
Определение 11. Преобразование плоскости, которое каждую точку отображает в симметричную ей точку относительно центра О называется центральной симметрией с центром в точке О и обозначается Z0.
Очевидно, что центральная симметрия есть поворот вокруг точки О на угол 1800. Поэтому формулы центральной симметрии получим из формул поворота:
Zo: .
В центральной симметрии неподвижная точка только одна. Это центр симметрии. А неподвижными прямыми являются прямые, проходящие через центр симметрии. Заметим, что
,
то есть формулы прямой и обратной центральных симметрий имеют один и тот же вид. Следовательно, центральная симметрия также является инвалютивным преобразованием плоскости.